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下期中高一级数学试卷带答案

时间:2019-03-22 阅读:

  大家在学习数学的时候我们要知道自己是怎么样的一个成绩从哪里学习起来哦,今天小编就给大家分享一下高一数学吗,欢迎大家一起来收藏哦

  高一数学下期中试卷带答案

  一、填空题(本大题共17小题,每小题5分,满分70分)

  1.sin135°=      .

  2.已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,∠B=30°,AB=2,则AC=      .

  3.直线y=2x+1的斜率为      .

  4.圆(x﹣1)2+y2=9的半径为      .

  5.等差数列{an},a1=1,a2=2,则a3=      .

  6.函数f(x)=sin2x+sinxcosx的周期为      .

  7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c= a,2sinB=3sinC,则cosA的值为      .

  8.已知过点A(﹣2,m)和点B(m,4)的直线l1,直线2x+y﹣1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3,若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n=      .

  9.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°,(O为坐标原点),则r=      .

  10.(B)已知等比数列{an},首项为3,公比为 ,前n项之积最大,则n=      .

  11.已知cos(α﹣ )=﹣ ,sin( ﹣β)= ,且0<β< <α<π,则sin =      .

  12.在△ABC中,已知AC=2,BC=3,cosA=﹣ ,则sin(2B+ )=      .

  13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的取值范围是      .

  14.设点M(x0,1),已知圆心C(2,0),半径为1的圆上存在点N,使得∠CMN=45°,则x0的最大值为      .

  15.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1,则 S12=      .

  16.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则∠C的大小为      .

  17.在△ABC中,AC=3,∠A= ,点D满足 =2 ,且AD= ,则BC的长为      .

  二、解答题

  18.(1)已知sinα= ,α∈( ,π),求sin2α;

  (2)已知tanα= ,求tan2α的值.

  19.在△ABC中,

  (1)已知 a=2bsinA,求B;

  (2)已知a2+b2+ ab=c2,求C.

  20.(1)求过点A(2,3),且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程;

  (2)已知直线l过原点,且点M(5,0)到直线l的距离为3,求直线l的方程.

  21.过点P(﹣3,﹣4)作直线l,当l的斜率为何值时

  (1)l将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?

  (2)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?

  (3)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2?

  22.已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=﹣10.

  (1)求数列{an}的通项公式;

  (2)求数列{an}的前n项和Sn;

  (3)求数列{ }的前n项和Tn.

  23.在△ABC中,角A、B、C的 对边分别为a、b、c,且 .

  (1)求 的值;

  (2)若 ,求tanA及tanC的值.

  24.如图,ABC为一直角三角形草坪,其中∠C=90°,BC=2米,AB=4米,为了重建草坪,设计师准备了两套方案:

  方案一:扩大为一个直角三角形,其中斜边DE过点B,且与AC平行,DF过点A,EF过点C;

  方案二:扩大为一个等边三角形,其中DE过点B,DF过点A,EF过点C.

  (1)求方案一中三角形DEF面积S1的最小值;

  (2)求方案二中三角形DEF面积S2的最大值.

  参考答案与试题解析

  一、填空题(本大题共17小题,每小题5分,满分70分)

  1.sin135°=   .

  【考点】运用诱导公式化简求值.

  【分析】运用特殊角的三角函数值,和诱导公式即可化简求值.

  【解答】解:sin135°=sin=sin45 .

  故答案为: .

  2.已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,∠B=30°,AB=2,则AC= 1 .

  【考点】正弦定理.

  【分析】根据含有30°的直角三角形的性质得出.

  【解答】解:∵∠C=90°,∠B=30°,AB=2,

  ∴AC= .

  故选1.

  3.直线y=2x+1的斜率为 2 .

  【考点】直线的斜率.

  【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k,写出斜率即可.

  【解答】解:直线y=2x+1的斜率为2.

  故答案为:2.

  4.圆(x﹣1)2+y2=9的半径为 3 .

  【考点】圆的标准方程.

  【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径.

  【解答】解:由圆(x﹣1)2+y2=9,得r2=9,

  ∴r=3.

  即圆(x﹣1)2+y2=9的半径为3.

  故答案为:3.

  5.等差数列{an},a1=1,a2=2,则a3= 3 .

  【考点】等差数列的通项公式.

  【分析】由等差数列{an}的性质可得:2a2=a1+a3.即可得出.

  【解答】解:由等差数列{an}的性质可得:2a2=a1+a3.

  ∴2×2=1+a3,

  解得a3=3.

  故答案为:3.

  6.函数f(x)=sin2x+sinxcosx的周期为 π .

  【考点】三角函数的周期性及其求法.

  【分析】利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可将f(x)=sin2x+sinxcosx+2化为:f(x)= sin(2x﹣ )+ ,利用周期公式即可求得其周期.

  【解答】解:∵f(x)=sin2x+sinxcosx

  = + sin2x

  = (sin2x﹣cos2x)+

  = sin(2x﹣ )+ ,

  ∴其最小正周期T= =π.

  故答案为:π.

  7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c= a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 ﹣  .

  【考点】余弦定理;正弦定理.

  【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c,b= ,再由余弦定理求得cosA= 的值.

  【解答】解:在△ABC中,

  ∵b﹣c= a ①,2sinB=3sinC,

  ∴2b=3c ②,

  ∴由①②可得a=2c,b= .

  再由余弦定理可得 cosA= = =﹣ ,

  故答案为:﹣ .

  8.已知过点A(﹣2,m)和点B(m,4)的直线l1,直线2x+y﹣1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3,若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n= ﹣10 .

  【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系.

  【分析】由条件根据两直线平行,斜率相等;两直线垂直,斜率之积等于﹣1,分别求得m、n的值,可得m+n的值.

  【解答】解:由题意可得,直线为l1的斜率为 ,直线l2的斜率为﹣2,且l1∥l2,

  ∴ =﹣2,求得m=﹣8.

  由于直线l3的斜率为﹣ ,l2⊥l3,∴﹣2×(﹣ )=﹣1,求得n=﹣2,

  ∴m+n=﹣10,

  故答案为:﹣10.

  9.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°,(O为坐标原点),则r= 2 .

  【考点】直线与圆相交的性质.

  【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点,∠AOB=120°,则△AOB为顶角为120°的等腰三角形,顶点(圆心)到直线3x﹣4y+5=0的距离d= r,代入点到直线距离公式,可构造关于r的方程,解方程可得答案.

  【解答】解:若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点,O为坐标原点,

  且∠AOB=120°,

  则圆心(0,0)到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos = r,

  即 = r,

  解得r=2,

  故答案为:2.

  10.(B)已知等比数列{an},首项为3,公比为 ,前n项之积最大,则n= 3 .

  【考点】等比数列的前n项和.

  【分析】an=3× ,可得前n项之积Tn= ,对n分类讨论,底数 与1比较大小关系即可得出.

  【解答】解:an=3× ,

  ∴前n项之积Tn=3n× = = ,

  由于n≤3时, ≥1;由于n≥4时, <1.

  ∴n=3时,前n项之积最大,

  故答案为:3.

  11.已知cos(α﹣ )=﹣ ,sin( ﹣β)= ,且0<β< <α<π,则sin =   .

  【考点】三角函数的化简求值.

  【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin(α﹣ )和cos( ﹣β)的值,再利用两角差的正弦公式求得sin 的值.

  【解答】解:∵cos(α﹣ )=﹣ ,sin( ﹣β)= ,且0<β< <α<π,

  ∴α﹣ ∈( ,π),sin(α﹣ )= = ; ﹣β∈(0, ),cos( ﹣β)= = .

  则sin =sin[(α﹣ )﹣( ﹣β)]=sin(α﹣ )cos( ﹣β)﹣cos(α﹣ )sin( ﹣β)

  = • + • = .

  12.在△ABC中,已知AC=2,BC=3,cosA=﹣ ,则sin(2B+ )=   .

  【考点】三角函数的化简求值.

  【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得sinA的值,利用正弦定理求得sinB的值,可得cosB的值,利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值,再利用两角和的正弦公式,求得要求式子的值.

  【解答】解:△ABC中,∵已知AC=2,BC=3,cosA=﹣ ∈( ,π),∴B∈(0, ),

  ∴sinA= = ,则由正弦定理可得 = = ,

  ∴sinB= ,cosB= = ,∴sin2B=2sinBcosB= ,∴cos2B=1﹣2sin2B= ,

  sin(2B+ )=sin2Bcos +cos2Bsin = • + • = ,

  故答案为: .

  13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的取值范围是 [ , ] .

  【考点】两条平行直线间的距离.

  【分析】由题意和韦达定理可得a+b=﹣1,ab=c,可得两平行线间的距离d满足d2= = = ,由0≤c≤ 和不等式的性质可得.

  【解答】解:∵a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,

  ∴由韦达定理可得a+b=﹣1,ab=c,

  ∴两平行线间的距离d= ,

  故d2= = = ,

  ∵0≤c≤ ,∴0≤4c≤ ,∴﹣ ≤﹣4c≤0,

  ∴ ≤1﹣4c≤1,∴ ≤ ≤ ,

  ∴ ≤d2≤ ,∴ ≤d≤

  故答案为:[ , ]

  14.设点M(x0,1),已知圆心C(2,0),半径为1的圆上存在点N,使得∠CMN=45°,则x0的最大值为 3 .

  【考点】直线与圆的位置关系.

  【分析】作出对应的同学根据条件∠CMN=45°,则必有∠CMN≤∠CMT,所以只需∠CMT≥45°即可,借助于三角函数容易求出x0的范围.

  【解答】解:易知M(x0,1)在直线y=1上,

  设圆C的方程为(x﹣2)2+y2=1与直线y=1的交点为T,

  假设存在点N,使得∠CMN=45°,则必有∠CMN≤∠CMT,

  所以要是圆上存在点N,使得∠CMN=45°,只需∠CMT≥45°,

  因为T(2,1),

  所以只需在Rt△CMT中,tan∠CMT= = ≥tan45°=1,

  即|x0﹣2|≤1,

  则﹣1≤x0﹣2≤1,

  即1≤x0≤3

  故x0∈[1,3].

  则x0的最大值为3,

  故答案为:3.

  15.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1,则 S12= 3 .

  【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.

  【分析】根据题意,利用等比数列的前n项和公式求出通项公式an,进一步求出数列对应的前n项和公式,再计算 S12的值.

  【解答】解:∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1,且Sn+1=Sn+an+1,

  ∴(an﹣an+1)Sn+ anan+1+an﹣an+1=0,

  ∴Sn+ +1=0;

  又∵a1=1,令n=1,则1+ +1=0,解得a2= ,

  同理可得a3= ,

  猜想an= ;

  下面利用数学归纳法证明:

  ①当n=1时,a1= =1,成立;

  ②假设当n≤k(k∈N*)时成立,ak= ,则Sk= = ;

  ∵Sk+ +1=0,

  ∴ + +1=0,

  解得ak+1= ;

  因此当n=k+1时也成立,

  综上,对于n∈N*,an= 都成立;

  由等差数列的前n项和公式得,Sn= ;

  ∴ S12= × =3.

  16.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则∠C的大小为   .

  【考点】余弦定理.

  【分析】已知两等式两边分别平方,相加后利用同角三角函数间的基本关系化简,求出sinC的值,即可确定出C的度数.

  【解答】解:由3sinA+4cosB=6①,3cosA+4sinB=1②,

  ①2+②2得:(3sinA+4cosB)2+(3cosA+4sinB)2=37,

  化简得:9+16+24(sinAcosB+cosAsinB)=37,

  即sin(A+B)=sin(π﹣C)=sinC= ,又∠C∈(0,π),

  ∴∠C的大小为 或 ,

  若∠C= π,得到A+B= ,则cosA> ,所以3cosA> >1,

  ∴3cosA+4sinB>1与3cosA+4sinB=1矛盾,所以∠C≠ π,

  ∴满足题意的∠C的值为 .

  则∠C的大小为 .

  故答案为:

  17.在△ABC中,AC=3,∠A= ,点D满足 =2 ,且AD= ,则BC的长为 3 .

  【考点】三角形中的几何计算.

  【分析】由已知,结合向量的基本运算可求得 = ,然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB,最后利用余弦定理可求BC

  【解答】解:∵ =2

  ∴ = = =

  ∵AD=| |= ,AC=| |=3,A= ,设AB=c

  ∴ =| || |cosA=

  则13= =

  ∴13=1

  整理可得,2c2 ﹣54=0

  ∵c>0

  解可得,c=3

  由余弦定理可得,a2=c2+b2﹣2bc•cosA

  =

  二、解答题

  18.(1)已知sinα= ,α∈( ,π),求sin2α;

  (2)已知tanα= ,求tan2α的值.

  【考点】二倍角的正切;二倍角的正弦.

  【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值,再利用二倍角公式,求得 sin2α 的值.

  (2)由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值.

  【解答】解:(1)∵已知sinα= ,α∈( ,π),∴cosα=﹣ =﹣ ,

  ∴sin2α=2sinαcosα=﹣ .

  (2)∵已知tanα= ,∴tan2α= = = .

  19.在△ABC中,

  (1)已知 a=2bsinA,求B;

  (2)已知a2+b2+ ab=c2,求C.

  【考点】余弦定理;正弦定理.

  【分析】(1)由正弦定理可得: sinA=2sinBsinA,sinA≠0,化为sinB= ,即可得出;

  (2)利用余弦定理即可得出.

  【解答】解:(1)∵ a=2bsinA,由正弦定理可得: sinA=2sinBsinA,sinA≠0,化为sinB= ,B∈(0,π),∴B= 或 .

  (2)∵a2+b2+ ab=c2,∴cosC= = =﹣ ,又C∈(0,π),

  ∴C= .

  20.(1)求过点A(2,3),且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程;

  (2)已知直线l过原点,且点M(5,0)到直线l的距离为3,求直线l的方程.

  【考点】待定系数法求直线方程.

  【分析】(1)由已知方程和垂直关系可得所求直线的斜率,写出点斜式方程,化为一般式即可;

  (2)可设直线l的方程为kx﹣y=0,由点到直线的距离公式可得k的方程,解方程可得.

  【解答】解:(1)∵直线3x+2y﹣1=0的斜率为﹣ ,

  ∴由垂直关系可得所求直线的斜率k= ,

  又直线过点A(2,3),∴方程为y﹣3= (x﹣2)

  化为一般式可得2x﹣3y+5=0;

  (2)∵直线l过原点,且点M(5,0)到直线l的距离为3,

  ∴可设直线l的方程为y=kx,即kx﹣y=0,

  由点到直线的距离公式可得 =3,解得k=±

  ∴直线l的方程为y=± x,即3x±4y=0

  21.过点P(﹣3,﹣4)作直线l,当l的斜率为何值时

  (1)l将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?

  (2)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?

  (3)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2?

  【考点】直线的点斜式方程.

  【分析】(1)当l经过圆心Q(1,﹣2)时,可将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分,利用点斜式即可得出.

  (2)设直线l的方程为:y+4=k(x+3),化为kx﹣y+3k﹣4=0,根据直线l与圆相切,可得圆心Q(1,﹣2)到直线l的距离d= =2,解出即可.

  (3)由于l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2,可得直线l的距离d= = ,解出k即可.

  【解答】解:(1)当l经过圆心Q(1,﹣2)时,可将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分,

  ∴直线l的方程为:y+2= (x﹣1),化为x﹣2y﹣5=0.

  (2)设直线l的方程为:y+4=k(x+3),化为kx﹣y+3k﹣4=0,

  ∵直线l与圆相切,

  ∴圆心Q(1,﹣2)到直线l的距离d= =2,化为:3k2﹣4k=0,

  解得k=0或 .∴当k=0或 时,直线l与圆相切.

  (3)∵l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2,

  ∴直线l的距离d= = ,化为13k2﹣16k+1=0,

  解得k= .

  ∴当k= 时,满足条件.

  22.已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=﹣10.

  (1)求数列{an}的通项公式;

  (2)求数列{an}的前n项和Sn;

  (3)求数列{ }的前n项和Tn.

  【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.

  【分析】(1)设出等差数列的首项和公差,由已知列式求出首项和公差,则等差数列的通项公式可求;

  (2)直接利用等差数列的前n项和公式求解;

  (3)把数列{an}的通项公式代入 ,利用错位相减法求前n项和Tn.

  【解答】解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

  由a2=0,a6+a8=﹣10,得 ,解得 .

  ∴an=1﹣(n﹣1)=2﹣n;

  (2) = ;

  (3) = ,

  ∴ ,

  ,

  两式作差得: = = .

  ∴ .

  23.在△ABC中,角A、B、C的 对边分别为a、b、c,且 .

  (1)求 的值;

  (2)若 ,求tanA及tanC的值.

  【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数;两角和与差的正切函数.

  【分析】(1)利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C,变形后求出sin2C的值,由C为三角形的内角,得到sinC大于0,开方可得出sinC的值,利用正弦定理化简得到的关系式,得到2sinB=sinAsinC,再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin(A+C),代入关系式中,利用两角和与差的正弦函数公式化简,根据sinAsinC不为0,等式左右两边同时除以cosAcosC,利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,即可得到所求式子的值;

  (2)由第一问求出的式子表示出tanA,然后把tanB中的B换为π﹣(A+C),利用诱导公式化简后,将表示出的tanA代入,得到关于tanC的方程,求出方程的解得到tanC的值,代入表示出的tanA,可得出tanA的值.

  【解答】解:(1)∵ ,cos2C=1﹣2sin2C,

  ∴ ,

  ∵C为三角形内角,∴sinC>0,

  ∴ ,

  ∵ ,∴ ,

  ∴sinC= ,即2sinB=sinAsinC,

  ∵A+B+C=π,

  ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

  ∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC,

  ∵sinA•sinC≠0,

  ∴ ;

  (2)∵ ,

  ∴ ,

  ∵A+B+C=π,

  ∴ .

  ∴ ,

  整理得tan2C﹣8tanC+16=0,

  解得:tanC=4,

  将tanC=4代入得: =4.

  24.如图,ABC为一直角三角形草坪,其中∠C=90°,BC=2米,AB=4米,为了重建草坪,设计师准备了两套方案:

  方案一:扩大为一个直角三角形,其中斜边DE过点B,且与AC平行,DF过点A,EF过点C;

  方案二:扩大为一个等边三角形,其中DE过点B,DF过点A,EF过点C.

  (1)求方案一中三角形DEF面积S1的最小值;

  (2)求方案二中三角形DEF面积S2的最大值.

  【考点】基本不等式在最值问题中的应用.

  【分析】(1)在方案一:在三角形AFC中,设∠ACF=α,α∈(0, ),表示出三角形DEF面积S1,利用基本不等式求出最小值;

  (2)在方案二:在三角形DBA中,设∠DBA=β,β∈(0, ),表示出三角形DEF面积S1,利用辅助角公式求出最小值.

  【解答】解:(1)在方案一:在三角形AFC中,设∠ACF=α,α∈(0, ),

  则 ,…

  因为DE∥AC,所以∠E=α, ,

  且 ,即 ,…

  解得 ,…

  所以 ,

  所以当sin2α=1,即α=45°时,S1有最小值 . …

  (2)在方案二:在三角形DBA中,设∠DBA=β,β∈(0, ),则 ,

  解得 ,…

  三角形CBE中,有 ,解得 ,…

  则等边三角形的边长为 ,…

  所以边长的最大值为 ,所以面积S2的最大值为 .…

  高一数学下学期期中试题参考

  第一卷(选择题 共60分)

  一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

  1. 若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c的值依次为(   )

  A.2,4,4 B.-2,4,4 C.2,-4,4 D.2,-4,-4

  2.某班的60名同学已编号1,2,3,…,60,为了解该班同学的作业情况,老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本,这里运用的抽样方法是(  )

  A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.抽签法

  3. 函数y=cosx•tanx的值域是(   ).

  A.(-1,0)∪(0,1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.[-1,0]∪(0,1)

  4. 如图所示的程序框图,若输出x的值为23,则输入的x 值为(   )

  A.0 B.1 C.2 D.11

  5. 圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1) 2=4外切,则m的值为(   )

  A.2或-5 B.-5 C.2 D.不确定

  6.若 那么 的值为( )

  A.0 B.1 C.-1 D.

  7. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如右图,则下面结论中错误的一个是(   )

  A.甲的极差是29 B.乙的众数是21

  C.甲罚球命中率比乙高 D.甲的中位数是24

  8 . 为三角形ABC的一个内角,若 ,则这个三角形的形状为 ( )

  A. 锐角三角形 B. 钝角三角形  C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形

  9.方程 =lgx的根的个数是 (   )

  A.0 B. 2 C. 1 D.无法确定

  10. △ABC的顶点坐标是A(3,1,1),B(-5,2,1),C(-83,2,3),则它在yOz平面上射影图形的面积是(   )

  A.4 B.3 C.2 D.1

  11. 在 内,使 的成立的 的取值范围是( )

  A.( ) B.( ) C.( ) D.( )

  12.下列说法正确的是(   ).

  A.在0,π2内sinx>cosx B.函数y=π1+tan2x的最大值为π

  C.函数y=2sinx+π5的图象的一条对称轴是x=45π

  D .函数y=sin 2x的图象可以由函数y=sin2x-π4的图象向右平移π8个单位得到

  第二卷(非选择题 共90分)

  二.填空题(本大题共4小题,每小题5分共20分.请把正确答案填在题中横线上)

  13.若一直线与圆x2+y2+kx-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称,则k=_______

  14.已知tan α=2,则sin2( + )+sin cos -2cos2(- )的值为______

  15.若a1,a2,…,a20这20个数据的平均数为x,方差为0.21,则a1,a2,…,a20,x这21个数据的方差为________.

  16. 在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得方程x2+2ax-b2+π2=0有实根的概率为_______

  三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

  17(10分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如下表所示:

  零件的个数x(个) 2 3 4 5

  加工的时间y(h) 2.5 3 4 4.5

  求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^,并预测加工10个零件需要多少时间?

  18.(12分)统计局就某地居民的月收入情况调查了10 000人,并根据所得数据画了样本频率分布直方图,每个分组包含左端点,不包含右端点,如第一组表示收入在500~1 000元.

  (1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样法抽出100人作进一步分析,则月收入在2 000~2 500元的应抽取多少人?

  (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数;

  19.(12分) 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.

  (1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率.

  (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n

  20.(12分) 已知函数 ,

  其部分图象如图所示.

  (1)求函数 的表达式;

  (2)求方程 , 的解.

  21.(12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.

  22.(12分) 已知函数 ,

  (1)求 的单调增区间;

  (2)若 , =a有且仅有一个根,求a的范围.

  高一年级数学试题答案

  选择题:BBCCA CDBCD CB

  填空题:13. 0 14. 45 15. 0.2 16.1-π4

  17. 解:由表中数据得:i=14xiyi=52.5,x=3.5,y=3.5,i=14x2i=54.

  代入公式得b^=0.7,a^=1 .05∴y^=0.7x+1.05. -----8分

  将x=10代入回归直线方程,

  得y^=0.7×10+1.05=8.05(h).

  ∴预测加工10个零件需要8.05 h. --------10分

  18. 解:(1)因为(0.000 2 +0.000 4+0.000 3+0.000 1)×500=0.5,

  所以a==0.000 5, ---3分

  月收入在2 000元~2 500元的频率为0.25,

  所以抽取的100人中月收入在2 000元~2 500元的人数为

  0.25×100=25(人). ------6分

  (2)因为0.000 2×(1 000-500)=0.1,0.000 4×(1 500-1 000)=0.2,

  0.000 5×(2 000-1 500)=0.25, 0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,

  所以样本数据的中位数是1 500+ =1 900(元). ------9分

  (750×0.000 2+1 250×0.000 4+1 750×0.000 5+2 250×0.000 5+2 750×0.000 3+3 250×0.000 1)×500=1 900(元).

  所以样本数据的平均数为1 900元. -----12分

  19. 解:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3,共2个.

  因此所求事件的概率P=26=13. -------6分

  (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.

  又满足m+2≤n的事件的概率为P1=316,

  故满足n

  20. 解:(1)

  且 过 ,则 ----6分

  ( 2)当 时, ,

  ----------- 12分

  21. 设所求圆的圆心为C(a, a-1),半径 为r(r>0),则点C到直线l2的距离d1= = . --------3分

  点C到直线l3的距离是d2= = . ---------6分

  由题意,得 -------9分

  解得a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25. ----12分

  22.(1) , ,

  增区间为 ; ----- -6分

  ( 2)

  由图像可知 =a有且仅有一个根时a的范围

  为{a︱ 或a=2} ------12分

  高一年级数学下学期期中试题

  一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.请将正确答案填涂在答题卷上)

  1.设全集U=A∪B={1,2,3,4,5},A∩(∁UB)={1,2},则集合B=(  )

  A.{2,4,5} B.{3,4,5} C.{4, 5} D.(2,4)

  2.过点M(﹣3,2),N(﹣2,3)的直线倾斜角是(  )

  A. B. C. D .

  3.函数 的零点落在的区间是( )

  4.计算sin105°=(  )

  A. B. C. D.

  5.函数 的图像( )

  A.关于点 对称, B.关于直线 对称, C.关于点 对称, D.关于直线 对称

  6.要得到函数 的图像,只需将函数 的图像( )

  A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度

  C.向左平行移动 个单位长度 D.向右平行移动 个单位长度

  7.已知 ,则 ( )

  A. B. C. D.

  8.已知2sinα+cosα= ,则tan2α=( )

  A. B. C.- D.-

  9.函数y=2cos2 -1是( )

  A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函 数

  C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数

  10.函数 的最小值为 ( )

  A. B. C. D.

  11.设m,n是不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,有以下四个命题:

  ①若m⊥α,n⊥α,则m∥n; ②若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n则α∥β;

  ③若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m ⊥γ ④若γ⊥α,γ⊥β,则α∥β.

  其中正确命题的序号是(  ) A.①③ B.②③ C.③④ D.①④

  12.已知 则方程 所 有实根的个数是( )

  A.2 B.3 C.4 D.5

  二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将正确答案写在答题卷上)

  13.已知 则

  14.经过点 ,且与直线 =0垂直的直线方程是

  15.已知函数 若对任意x1≠x2,都有 成立,则a的取值范围是

  16.设常 数a使方程 在闭区间[0,2 ]上恰有三个解 ,则 。

  三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明或演算步骤.)

  17.已知函数

  (Ⅰ)求出使 取最大值、最小值时 的集合;

  (Ⅱ)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;

  18.已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的 一段图象(如图)所示.

  (Ⅰ)求函数的解析式;

  (Ⅱ)求这个函数的单调增区间。

  19.设函数 , .

  (Ⅰ)求 的最小正周期及单调递增区间;

  (Ⅱ)若 时, ,求函数 的最大值,并指出 取何值时,函数 取得最大值.

  20.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别为AB、PC的中点,∠PDA=45°,AB=2,AD=1.

  (Ⅰ)求证:MN∥平面PAD;

  (Ⅱ)求证:平面PMC⊥平面PCD;

  21.已知圆 : ,点 是直线 : 上的一动点,过点 作圆M的切线 、 ,切点为 、 .

  (Ⅰ)当切线PA的长度为 时,求点 的坐标;

  (Ⅱ)若 的外接圆为圆 ,试问:当 运动时,圆 是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由;

  (Ⅲ)求线段 长度的最小值.

  2 2.已知 二次函数g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)在区间[0,3]上有最大值4,最小值0.

  (Ⅰ)求函数g(x)的解析式;

  (Ⅱ)设f(x)= .若f(2x)﹣k•2x≤0在x∈[﹣3,3]时恒成立,求k的取值范围.

  期中数学试卷参考答案

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  B B B D A C C A A C A B

  13.-2 14.

  15.(0, ] 16.

  17.

  18.(1)由图可知A=3,

  T= =π,又 ,故ω=2

  所以y=3sin(2x+φ),把 代入得:

  故 ,∴ ,k∈Z

  ∵|φ|<π,故k=1, ,

  ∴

  (2)由题知 ,

  解得:

  故这个函数的单调增区间为 ,k∈Z。

  19.(1)

  所以:

  因为:

  所以单调递增区间为:

  (2)因为:

  当 时, ,

  所以

  20.(1)证明:如图,取PD的中点E,连结AE、EN

  则有EN∥CD∥AM,且EN= CD= AB=MA.

  ∴四边形AMNE是平行四边形.

  ∴MN∥AE.

  ∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,

  ∴MN∥平面PAD;

  (2)证明:∵PA⊥矩形ABCD所在的平面,CD,AD⊂矩形ABCD所在的平面,

  ∴PA⊥CD,PA⊥AD,

  ∵CD⊥AD,PA∩AD=A ,

  ∴CD⊥平面PAD,

  又∵AE⊂平面PAD,

  ∴CD⊥AE,

  ∵∠PDA=45°,E为PD中点

  ∴AE⊥PD,

  又∵PD∩CD=D,

  ∴AE⊥平面PCD,

  ∵MN∥AE,

  ∴MN⊥平面PCD,

  又∵MN⊂平面PMC,

  ∴平面PMC⊥平面PCD;

  21.解:(Ⅰ)由题可知,圆M的半径r=2,设P(2b,b),

  因为PA是圆M的一条切线,所以∠MAP=90°,

  所以MP= ,解得

  所以

  (Ⅱ)设P(2b,b),因为∠MAP=90°,所以经过A、P、M三点的圆 以MP为直径,

  其方程为:

  即

  由 ,

  解得 或 ,所以圆过定点

  (Ⅲ)因为圆 方程为

  即            ……①

  圆 : ,即       ……②

  ②-①得圆 方程与圆 相交弦AB所在直线方程为:

  点M到直线AB的距离

  相交弦长即:

  当 时,AB有最小值

  22.解:(Ⅰ)∵g(x)=m(x﹣1)2﹣m+1+n

  ∴函数g(x)的图象的对称轴方程为x=1

  ∵m>0依题意得 ,

  即 ,

  解得

  ∴g(x)=x2﹣2x+1,

  (Ⅱ)∵

  ∴ ,

  ∵f(2x)﹣k•2x≤0在x∈[﹣3,3]时恒成立,

  即 在x∈[﹣3,3]时恒成立

  ∴ 在x∈[﹣3,3]时恒成立

  只需

  令 ,

  由x∈[﹣3,3]得

  设h(t)=t2﹣4t+1

  ∵h(t)=t2﹣4t+1

  =(t﹣2)2﹣3

  ∴函数h(x)的图象的对称轴方程为t=2

  当t=8时,取得最大值33.

  ∴k≥h(t)max=h(8)=33

  ∴k的取值范围为[33,+∞)

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