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高三理科数学上学期期末试卷

时间:2019-03-22

  数学有很多的同学会说很难,其实难在哪里我们要找到原因,小编今天下面就给大家整理高三数学,希望大家多多参考一下

  上学期高三数学理科期末试题

  一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)

  1.若集合A={x|-2

  A. B. C. D.

  【答案】C

  【解析】

  【分析】

  直接利用交集运算得答案.

  【详解】∵集合 表示 到0的所有实数,

  集合 表示5个整数的集合,∴ ,

  故选C.

  【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算,是基础题.

  2.下列复数为纯虚数的是( )

  A. B. C. D.

  【答案】D

  【解析】

  【分析】

  直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.

  【详解】∵ , , , ,

  ∴为纯虚数的是 ,故选D.

  【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念,是基础题

  3.下列函数中,是奇函数且存在零点的是( )

  A. B. C. D.

  【答案】A

  【解析】

  【分析】

  由函数的奇偶性及函数的零点可判断 为奇函数,且存在零点为 , 为非奇非偶函数, 为偶函数, 不存在零点,故得解.

  【详解】对于选项A: 为奇函数,且存在零点为x=0,与题意相符;

  对于选项B: 为非奇非偶函数,与题意不符;

  对于选项C: 为偶函数,与题意不符;

  对于选项D: 不存在零点,与题意不符,故选:A.

  【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点,熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键,属于简单题.

  4.执行如图所示的程序框图,如果输入 ,则输出 的等于( )

  A. 3 B. 12 C. 60 D. 360

  【答案】C

  【解析】

  【分析】

  通过程序框图,按照框图中的要求将几次的循环结果写出,得到输出的结果.

  【详解】模拟执行程序,可得 , , , , ,

  满足条件 ,执行循环体, , ,

  满足条件 ,执行循环体, , ,

  不满足条件 ,退出循环,输出 的值为60.

  故选C.

  【点睛】本题考查程序框图的应用,解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时,常采用写出几次的结果找规律,属于基础题.

  5.“ ”是“函数 的图像关于直线 对称”的( )

  A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

  C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

  【答案】A

  【解析】

  【分析】

  根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为 ,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

  【详解】若函数 的图象关于直线 ,则 ,得 ,

  当 时, ,即“ ”是“函数 的图象关于直线 对称”的充分不必要条件,故选A.

  【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合三角函数的对称性求出 的取值范围是解决本题的关键.

  6.某三棱锥的三视图如图所示,在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度为( )

  A. 2 B. C. D. 3

  【答案】D

  【解析】

  【分析】

  由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥 ,其中 底面 , , , ,由此能求出在该三棱锥中,最长的棱长.

  【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥 ,

  其中 底面 , , , ,

  ∴ ,

  ∴在该三棱锥中,最长的棱长为 ,故选D.

  【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法,考查三棱锥性质及其三视图等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,是基础题.

  7.在极坐标系中,下列方程为圆 的切线方程的是( )

  A. B. C. D.

  【答案】C

  【解析】

  【分析】

  首先求出圆的直角坐标方程为 ,圆心为 ,半径 ,将每个选项分别利用直角坐标表示,根据直线与圆的位置关系能求出结果.

  【详解】圆 ,即 ,

  ∴圆的直角坐标方程为 ,即 ,圆心为 ,半径 ,

  在A中, 即 ,

  圆心 到 的距离 ,故 不是圆的切线,故A错误;

  在B中, 是圆,不是直线,故B错误;

  在C中, 即 ,

  圆心 到 的距离 ,故 是圆的切线,故C正确;

  在D中, 即 ,

  圆心 到 的距离 ,故 不是圆的切线,故D错误.

  故选C.

  【点睛】本题考查圆的切线方程的判断,考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.

  8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级,若它们释放的能量分别为E1和E2,则 的值所在的区间为( )

  A. B. C. D.

  【答案】B

  【解析】

  【分析】

  先把数据代入已知解析式,再利用对数的运算性质即可得出.

  【详解】 ,

  ∴ , ,

  ∴ , ,∴ ,

  ∵ , , ,

  ∴ ,

  ∴ 的值所在的区间为 ,故选B.

  【点睛】本题考查了对数的运用以及运算,熟练掌握对数的运算性质是解题的关键,属于基础题.

  二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)

  9.若 满足 ,则 的最小值为______.

  【答案】4

  【解析】

  【分析】

  作出不等式组 对应的平面区域,利用 的几何意义即可得到结论.

  【详解】作出 , 满足 对应的平面区域,

  由 ,得 ,平移直线 ,

  由 ,解得

  由图象可知当直线经过点 时,直线 的截距最小,此时最小,

  此时 ,故答案为4.

  【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

  10.已知双曲线 - =1的一个焦点为 ,则m=______.

  【答案】3

  【解析】

  【分析】

  由双曲线的焦点坐标可得的值,列出关于 的方程,解出即可.

  【详解】双曲线 的一个焦点为 ,即 ,

  解得 ,故答案为3.

  【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程,注意分析、 的关系,属于基础题.

  11.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=-1,b1=2,a3+b2=-1,试写出一组满足条件的数列{an}和{bn}的通项公式:an=______,bn=______.

  【答案】 (1). -n (2). 2

  【解析】

  【分析】

  设等差数列的公差为 ,等比数列的公比为 ,由等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得 , ,即可得到所求通项公式,注意答案不唯一.

  【详解】等差数列 的公差设为 ,等比数列 的公比设为 ,

  , , ,可得 ,

  即为 , 可取 ,可得 ,则 , ,

  故答案为 ,2.

  【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.

  12.在菱形ABCD中,若 ,则 的值为______.

  【答案】

  【解析】

  【分析】

  根据菱形的对角线互相垂直且平分,则 ,结合平面向量的数量积公式计算即可.

  【详解】菱形 中, ,由 可得

  则 ,

  故答案为 .

  【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题,由菱形的性质得到 是解题的关键,属于基础题.

  13.函数 在区间 上的最大值为______.

  【答案】

  【解析】

  【分析】

  利用两角差的正弦与余弦公式化简,根据 在 上,结合三角函数的性质可得最大值.

  【详解】函数

  ;

  ∵ ,∴当 时, 取得最大值为 ,

  故答案为 .

  【点睛】本题主要考查了两角和与差公式的应用和计算能力,得到 是解题的关键,属于基础题.

  14.已知函数f(x)为定义域为R,设Ff(x)= .

  ①若f(x)= ,则Ff(1)=______;

  ②若f(x)=ea-|x|-1,且对任意x∈R,Ff(x)=f(x),则实数a的取值范围为______.

  【答案】 (1). (2).

  【解析】

  【分析】

  ①通过 的范围,可得 ,代入可得所求值;②由题意可得 恒成立,运用绝对值不等式的性质和参数分离,以及函数的最值求法,可得的范围.

  【详解】①若 ,由 ,可得 ,成立,即有 ,则 ;

  ②若 ,且对任意 , ,可得 恒成立,即为 ,即有 ,可得 ,即 ,

  由 的最小值为 ,则 ,故答案为 , .

  【点睛】本题主要考查分段函数的运用:求函数值和解析式,考查变形能力和转化思想,注意运用参数分离和绝对值不等式的性质,将问题转化为 恒成立是解决②的关键,属于中档题

  三、解答题(本大题共6小题,共80.0分)

  15.在△ABC中, .

  (1)求∠B的大小;

  (2)若△ABC的面积为a2,求cosA的值.

  【答案】(1) ;(2)

  【解析】

  【分析】

  (1)由正弦定理可得 ,结合范围 ,可求 的值;(2)利用三角形的面积公式可求的值,根据余弦定理可求 的值,进而可求 的值.

  【详解】(1)在△ABC中,由正弦定理可得: ,

  所以: ,

  又 , .

  (2)因为△ABC的面积为 ,

  ∴ 2 ,

  由余弦定理, ,所以 .

  .

  【点睛】本题主要考查了正弦定理,三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题

  16.某中学有学生500人,学校为了解学生的课外阅读时间,从中随机抽取了50名学生,获得了他们某一个月课外阅读时间的数据(单位:小时),将数据分为5组:[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20],整理得到如图所示的频率分布直方图.

  (1)求频率分布直方图中的x的值;

  (2)试估计该校所有学生中,课外阅读时间不小于16小时的学生人数;

  (3)已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生,现从阅读时间在[10,12)的样本学生中随机抽取3人,记X为抽到女生的人数,求X的分布列与数学期望E(X).

  【答案】(1)0.15;(2)150;(3)见解析

  【解析】

  【分析】

  (1)利用频率分布直方图,通过概率和为1,即可求解 ;(2)利用分布直方图求解即可;(3)随机变量 的所有可能取值为0,1,2,3,求出概率得到分布列,然后求解期望.

  【详解】(1)由 ,

  可得 0.15

  (2) ,

  即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150,

  所以可估计该校所有学生中,课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150.

  (3)课外阅读时间在[10,12)的学生样本的频率为0.08×2=0.16,50×0.16=8,即阅读时间在[10,12)的学生样本人数为8,8名学生为3名女生,5名男生,

  随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3, ; ; ; .

  所以X的分布列为:

  X 0 1 2 3

  P

  故 的期望

  【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,频率分布直方图的应用,考查计算能力,属于中档题.

  17.如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,E,F分别为AD,BC的中点,AE=EF, .将四边形ABFE沿EF折起,使平面ABFE⊥平面EFCD(如图2),G是BF的中点.

  (1)证明:AC⊥EG;

  (2)在线段BC上是否存在一点H,使得DH∥平面ABFE?若存在,求 的值;若不存在,说明理由;

  (3)求二面角D-AC-F的大小.

  【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)

  【解析】

  【分析】

  (1)推导出 , , ,从而 平面 ,进而 ,四边形 为正方形, ,由此能证明 平面 ,从而 ;(2)由 , , 两两垂直,建立空间直角坐标系 ,由此利用向量法能求出在线段 上存在一点 ,使得 平面 ,并能求出 的值;(3)求出平面 的法向理和平面 的法向量,利用向量法能求出二面角 的大小.

  【详解】证明:(1)在图1中, ,

  可得△AEF为等腰直角三角形,AE⊥EF.

  因为AD∥BC,所以EF⊥BF,EF⊥FC.

  因为平面ABFE⊥平面EFCD,且两平面交于EF,CF⊂平面CDEF,

  所以CF⊥平面ABFE.

  又EG⊂平面ABFE,故CF⊥EG;

  由G为中点,可知四边形AEFG为正方形,所以AF⊥EG;

  又AF∩FC=F,所以EG⊥平面AFC.又AC⊂平面AFC,所以AC⊥EG

  (2)由(1)知:FE,FC,FB两两垂直,如图建立空间直角坐标系F-xyz,

  设FE=1,则F(0,0,0),C(0,2,0),B(0,0,2),D(1,1,0).

  设H是线段BC上一点, .

  因此点 .

  由(1)知 为平面ABFE的法向量, =(0,2,0),

  因为 平面ABFE,所以 平面 ,当且仅当 ,

  即 ,解得 .

  .

  (3)设A(1,0,1),E(1,0,0),G(0,0,1).

  由(1)可得, 是平面 的法向量, . ,

  设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),

  由 即

  令x=1,则y=1,z=1.于是n=(1,1,1).

  所以 .

  所以二面角D-AC-F的大小为90°

  【点睛】本题主要考查线线垂直的证明,考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.

  18.已知函数f(x)=axex-x2-2x.

  (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

  (2)当x>0时,若曲线y=f(x)在直线y=-x的上方,求实数a的取值范围.

  【答案】(1) ;(2)

  【解析】

  【分析】

  (1)根据题意,求出函数的导数,由导数的几何意义可得切线的斜率,求出切点的坐标,由直线的点斜式方程分析可得答案;(2)根据题意,原问题可以转化为 恒成立,设 ,求出 的导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值,分析可得答案.

  【详解】(1)当 时, ,其导数 , .

  又因为 ,

  所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 ;

  (2)根据题意,当 时,

  “曲线y=f(x)在直线 的上方”等价于“ 恒成立”,

  又由x>0,则 ,

  则原问题等价于 恒成立;

  设 ,则 ,

  又由 ,则 ,则函数 在区间 上递减,

  又由 ,则有 ,

  若 恒成立,必有 ,

  即的取值范围为 .

  【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值,考查恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为 或 恒成立,即 或 即可,利用导数知识结合单调性求出 或 即得解,属于中档题.

  19.已知椭圆 过点P(2,1).

  (1)求椭圆C的方程,并求其离心率;

  (2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与C交于另一点B.设O为原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.

  【答案】(1)见解析;(2)见解析

  【解析】

  【分析】

  (1)将点 代入椭圆方程,求出,结合离心率公式即可求得椭圆的离心率;(2)设直线 , ,设点 的坐标为 , ,分别求出 , ,根据斜率公式,以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.

  【详解】(1)由椭圆方程椭圆 过点P(2,1),可得 .

  所以 ,

  所以椭圆C的方程为 + =1,离心率e= = ,

  (2)直线AB与直线OP平行.证明如下:

  设直线 , ,

  设点A的坐标为(x1,y1),B(x2,y2),

  由 得 ,

  ∴ ,∴

  同理 ,所以 ,

  由 ,

  有 ,

  因为A在第四象限,所以 ,且A不在直线OP上.

  ∴ ,

  又 ,故 ,

  所以直线 与直线 平行.

  【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与椭圆位置关系的应用,训练了斜率和直线平行的关系,是中档题.

  20.对给定的d∈N*,记由数列构成的集合 .

  (1)若数列{an}∈Ω(2),写出a3的所有可能取值;

  (2)对于集合Ω(d),若d≥2.求证:存在整数k,使得对Ω(d)中的任意数列{an},整数k不是数列{an}中的项;

  (3)已知数列{an},{bn}∈Ω(d),记{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn.若|an+1|≤|bn+1|,求证:An≤Bn.

  【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析

  【解析】

  【分析】

  (1)推导出 , , , ,由此能求出 的所有可能取值;(2)先应用数学归纳法证明数列 ,则 具有 ,( )的形式,由此能证明取整数 ,则整数 均不是数列 中的项;(3)由 ,得: ,从而 ,由此利用累加法得 ,从而 ,同理 ,由此能证明 .

  【详解】(1)由于数列{an}∈Ω(2),即d=2,a1=1.

  由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3,所以a2=±3,

  |a3|=|a2+d|=|a2+2|,

  将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5,-1,1,5.

  证明:(2)先应用数学归纳法证明数列:

  若{an}∈Ω(d),则an具有md±1,(m∈Z)的形式.

  ①当n=1时,a1=0•d+1,因此n=1时结论成立.

  ②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即存在整数m0,使得ak=m0d0±1成立.

  当n=k+1时,|an+1|=|m0d0±1+d0|=|(m0+1)d0±1|,

  ak+1=(m0+1)d±1,或ak+1=-(m0+1)±1,

  所以当n=k+1时结论也成立.

  由①②可知,若数列{an}∈Ω(d)对任意n∈N*,an具有md±1(m∈Z)的形式.

  由于an具有md±1(m∈Z)的形式,以及d≥2,可得an不是d的整数倍.

  故取整数k=d,则整数k均不是数列{an}中的项

  (3)由|an+1|=|an+d|,可得: = ,

  所以有 = +2and+d2,

  = +2an-1d+d2,

  ,

  …

  = ,

  以上各式相加可得 ,

  即An= - ,同理Bn= - ,

  当 时,有 ,

  ∵d∈N*,∴ ≤ ,

  ∴ ≤ - ,

  ∴

  【点睛】本题考查数列的第 项的所有可能取值的求法,考查数列不等式的证明,考查数学归纳法、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是难题.

  高三数学上学期期末试卷理科

  一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.若复数满足 ,则 ( )

  A. 或 B. 或 C. 或 D.

  【答案】A

  【解析】

  【分析】

  设z=a+bi(a,b∈R),利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求得a,b,则答案可求.

  【详解】设z=a+bi(a,b∈R),

  由z2=5+12i,得a2﹣b2+2abi=5+12i,

  ∴ ,解得 或 .

  ∴z=3+2i或z=﹣3﹣2i.

  故选:A.

  【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题.

  2.函数 的零点所在的区间是( )

  A. B. C. D.

  【答案】B

  【解析】

  【分析】

  由于连续函数f(x)满足 f(1)<0,f(2)>0,从而得到函数y=x﹣4•( )x的零点所在区间.

  【详解】∵y=x﹣4•( )x为R上的连续函数,

  且f(1)=1﹣2<0,f(2)=2﹣1>0,

  ∴f(1)•f(2)<0,

  故函数y=x﹣4•( )x的零点所在区间为:(1,2),

  故选:B.

  【点睛】本题主要考查函数的零点的定义,判断函数的零点所在的区间的方法,属于基础题.

  3.已知 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则 的一个充分条件是( )

  A. , B. , ,

  C. , , D. , ,

  【答案】C

  【解析】

  【分析】

  在A中,a与b相交、平行或异面;在C中,由线面垂直的性质可得a∥b;在B、D中,均可得a与b相交、平行或异面;

  【详解】由a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,

  在A中, , ,则a与b相交、平行或异面,故A错误;

  在B中, , , ,则a与b相交、平行或异面,故B错误;

  在C中,由a , ,则 ,又 ,由线面垂直的性质可知 ,故C正确;

  在D中, , , ,则a与b相交、平行或异面,故D错误.

  故选:C.

  【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.

  4.定义运算 ,则函数 的图像是( )

  A. B.

  C. D.

  【答案】C

  【解析】

  【分析】

  根据新定义可得函数1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个即可判断.

  【详解】从定义运算a⊕b 上看,对于任意的a、b,a⊕b实质上是求a与b中最大的,

  ∴1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个,

  ∴对于对数函数y=log2x,当x≥2,log2x≥1,∴当0

  故选:C.

  【点睛】本题主要考查新定义,求函数的最大值,属于基础题.

  5. 的展开式中, 的系数是( )

  A. -160 B. -120 C. 40 D. 200

  【答案】B

  【解析】

  【分析】

  将问题转化为二项式(1﹣2x)5的展开式的系数问题,求出(1﹣2x)5展开式的通项,分别令r=2,3求出(1﹣2x)5(2+x)的展开式中x3项的系数.

  【详解】(1﹣2x)5(2+x)的展开式中x3项的系数是(1﹣2x)5展开式中x3项的系数的2倍与(1﹣2x)5展开式中x2项的系数的和

  ∵(1﹣2x)5展开式的通项为Tr+1=(﹣2)rC5rxr

  令r=3得到x3项的系数为﹣8C53=﹣80

  令r=2得到x2项的系数为4C52=40

  所以(1﹣2x)5(2+x)的展开式中x3项的系数是﹣80×2+40=﹣120

  故答案为:B

  【点睛】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式.求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略:(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项,再由特定项的特点求出值即可;(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第 项,由特定项得出值,最后求出其参数.

  6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

  A. 36 B. 32 C. 30 D. 27

  【答案】A

  【解析】

  【分析】

  由已知中的三视图,判断该几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个以3为边长的长方形,高为4,分别求出棱锥各个面的面积,进而可得答案.

  【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体,

  四棱锥的底面为边长为3和3的正方形,高为4,

  故S四棱锥 4×3+ 5×3 5×3 4×3+3×3=36.

  故选:A.

  【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积,其中根据三视图判断出几何体的形状,并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键.

  7.若双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合,则双曲线 的离心率为( )

  A. 4 B. 3 C. 2 D.

  【答案】C

  【解析】

  【分析】

  先求出抛物线y2=8x的焦点坐标,由此得到双曲线C: 1的一个焦点,从而求出a的值,进而得到该双曲线的离心率.

  【详解】∵抛物线y2=8x的焦点是(2,0),

  双曲线C: 1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,

  ∴c=2,b2=3,m=1,

  ∴e 2.

  故选:C.

  【点睛】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要抛物线的性质进行求解.

  8.在 中,若 , ( ),则当 最小时, ( )

  A. B. C. D.

  【答案】A

  【解析】

  【分析】

  由已知 可求 的坐标,然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小时的x,结合向量数量积的性质即可求解.

  【详解】∵ (1,2), (﹣x,2x)(x>0),

  ∴ (﹣x﹣1,2x﹣2),

  ∴| |

  令y=5x2﹣6x+5,x>0

  根据二次函数的性质可知,当x ,ymin ,此时BC最小,

  ∴ , ( , ),

  0,

  ∴ ,即C=90°,

  故选:A.

  【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示,考查了二次函数的性质的简单应用,考查运算求解能力,是基础题.

  9.已知函数 ,且图像在点 处的切线的倾斜角为 ,则 的值为( )

  A. B. C. D.

  【答案】D

  【解析】

  【分析】

  先对函数进行求导,求出f′(1),然后根据导数的几何意义求出切线斜率

  k=f′(2)=tanα,然后根据诱导公式及同角基本关系可得sin( α)cos( α)=﹣cosαsinα ,代入可求.

  【详解】∵f(x)=x3+2x2f′(1)+2,

  ∴f′(x)=3x2+4xf′(1),

  ∴f′(1)=3+4f′(1),

  即f′(1)=﹣1,f′(x)=3x2﹣4x,

  ∴图象在点x=2处的切线的斜率k=f′(2)=4=tanα,

  则sin( α)cos( α)

  =﹣cosαsinα

  ,

  故选:D.

  【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用,诱导公式及同角基本关系的综合应用,属于基础知识的综合应用.

  10.已知 是 所在平面内一点, ,现将一粒红豆随机撒在 内,记红豆落在 内的概率为 ,落在 内的概率为 , ,则 ( )

  A. B. C. D.

  【答案】D

  【解析】

  【分析】

  根据2 3 ,计算出△PAB,△PAC,△PBC面积的关系,求出概率,作积得答案.

  【详解】如图,令 , , .

  则P为△A1B1C1 的重心,

  ∴ ,

  而 , , .

  ∴2S△PAB=3S△PAC=6S△PBC,

  ∴ , , .

  则P△PBCP△PBAP△PAC .

  故选:D.

  【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式,计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量,是解答的关键,难度中档.

  11.数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2, ,其相邻的两个1被2隔开,第 对1之间有 个2,则数列的前209项的和为( )

  A. 279 B. 289 C. 399 D. 409

  【答案】C

  【解析】

  【分析】

  根据题意,根据数列的性质,先把数列分组,每组中,第一个数为1,其他均为2,且第n组中,有n+1个数;得到209是前19行的和,进而得到所有项的和.

  【详解】根据题意,先把数列分组,

  第一组为1,2,有2个数,

  第二组为1,2,2,有3个数,

  第三组为1,2,2,2,有4个数,

  …

  第n组中,第一个数为1,其他均为2,有n+1个数,即每组中,第一个数为1,其他均为2,则前n组共有 个数,

  当n=19时,恰好前19行有209个数,

  前19行有19个1,有209-19=190个2,则这些数的和为:19+

  故答案为C.

  【点睛】本题考查数列的求和,注意要先根据数列的规律进行分组,综合运用等差数列前n项和公式与分组求和的方法,进行求和.

  12.已知 且 ,则下列结论正确的是( )

  A. B. C. D.

  【答案】A

  【解析】

  【分析】

  将式子变形得到 ,因为余弦函数是偶函数,故 ,构造函数 ,通过求导得到函数的单调性,进而得到结果.

  【详解】 等价于 ,即 ,因为余弦函数是偶函数,故 ,构造函数 ,根据偶函数的定义f(x)=f(-x)得到函数是偶函数,而f(x)在 上, ,故函数单调增,又因为 ,故得到 .

  故答案为:A.

  【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用,以及函数的单调性的应用,通过研究函数的这些性质来比较函数的大小;比较大小常用的方法,除构造函数,研究函数性质得到结果,常用的有:做差和0比,做商和1比,不等式性质的应用等.

  二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

  13.已知集合 , ,则 __________.(用区间表示)

  【答案】(-1,0)

  【解析】

  【分析】

  化简集合N,根据补集与交集的定义写出.

  【详解】M={x|﹣1

  则?MN=(﹣1,0),

  故答案为:(﹣1,0).

  【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.

  14.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,若最终输出的x=0,则开始时输入的x的值为____________

  【答案】

  【解析】

  【分析】

  求出对应的函数关系,由题输出的结果的值为0,由此关系建立方程求出自变量的值即可.

  【详解】第一次输入x=x,i=1

  执行循环体,x=2x﹣1,i=2,

  执行循环体,x=2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3,i=3,

  执行循环体,x=2(4x﹣3)﹣1=8x﹣7,i=4>3,

  输出8x﹣7的值为0,解得:x ,

  故答案为: .

  【点睛】解答本题,关键是根据所给的框图,得出函数关系,然后通过解方程求得输入的值.本题是算法框图考试常见的题型,其作题步骤是识图得出函数关系,由此函数关系解题,得出答案.

  15.设实数 满足 ,若 的最大值为16,则实数 __________.

  【答案】3

  【解析】

  【分析】

  先画出可行域,得到角点坐标.再对k进行分类讨论,通过平移直线z=kx+y得到最大值点A,即可得到答案.

  【详解】实数x,y满足 的可行域如图:

  得:A(4,4),

  同样地,得B(0,2),

  z=kx+y,即y=﹣kx+z,分k>0,k<0两种情况.

  当k>0时,

  目标函数z=kx+y在A点取最大值,即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大,即16=4k+4,得k=3;

  当k<0时,

  ①当k 时,目标函数z=kx+y在A点(4,4)时取最大值,

  即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大,

  此时,16=4k+4,

  故k=3.

  ②当k 时,目标函数z=kx+y在B点(0,2)时取最大值,

  即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大,

  此时,16=0×k+2,

  故k不存在.

  综上,k=3.

  故答案为:3.

  【点睛】本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义.

  16.已知过椭圆 上一点 的切线方程为 ,若分别交 轴于 两点,则当 最小时, __________.( 为坐标原点)

  【答案】

  【解析】

  【分析】

  利用切线求得A、B两点坐标,表示出 ,再利用 ,结合基本不等式求得 ,再利用 最小时的条件求得 , ,即可求解.

  【详解】因为点 的切线方程为 ,若分别交 轴于 两点,所以A( ,0),B(0, ), = = ,

  又 点P 在椭圆 上, 有 ,

  = + ) ,当且仅当 = 时等号成立, ,

  解得 , , = = ,

  = .

  故答案为 .

  【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体,考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件,考查了逻辑推理及运算能力,属于难题.

  三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

  17.在 中, 分别是内角 的对边,且 .

  (1)求 ;

  (2)若 , ,求 的面积.

  【答案】(1) (2)

  【解析】

  【分析】

  (1)由已知利用正弦定理可得:a2=b2+c2+bc.由余弦定理可得:cosA ,结合范围A∈(0,π),可求A .

  (2)由已知利用余弦定理c2+2c﹣5=0,解得c的值,利用三角形面积公式即可计算得解.

  【详解】(1)因为 ,

  由正弦定理得 .

  再由余弦定理得 ,

  又因为 ,所以 .

  (2)因为a=3, ,

  代入 得 ,

  解得 .

  故△ABC的面积 .

  【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.

  18.设 , , ,数列 的前 项和 ,点 ( )均在函数 的图像上.

  (1)求数列 的通项公式;

  (2)设 , 是数列 的前 项和,求满足 ( )的最大正整数 .

  【答案】(1)an=6n-5 ( ) (2)8

  【解析】

  【分析】

  (1)根据f(x)=3x2﹣2x,由(n,Sn)在y=3x2﹣2x上,知Sn=3n2﹣2n.由此能求出数列{an}的通项公式.

  (2)由 ,知Tn (1- ),根据 ( )对 恒成立,当且仅当 ,由此能求出所有n∈N*都成立的m的范围.

  【详解】(1)因为 =3x2-2x.

  又因为点 均在函数 的图像上,所以 =3n2-2n.

  当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- =6n-5.

  当n=1时,a1=S1=3×12-2=1,所以,an=6n-5 ( ).

  (2)由(1)得知 = ,

  故Tn= =

  = (1- ),且Tn随着n的增大而增大

  因此,要使 (1- ) ( )对 恒成立,当且仅当n=1时T1= ,

  即m<9,所以满足要求的最大正整数m为8.

  【点睛】本题考查数列与不等式的综合,综合性强,难度较大.易错点是基础知识不牢固,不会运用数列知识进行等价转化转化.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件.

  19.如图,正三棱柱 中,(底面为正三角形,侧棱垂直于底面),侧棱长 ,底面边长 , 是 的中点.

  (1)求证:平面 平面 ;

  (2)设 是线段 的中点,求直线 与平面 所成的角的正弦值.

  【答案】(1) 见解析(2)

  【解析】

  【分析】

  (1)通过做平行线构造平行四边形,进而得到线面垂直,再由平形四边行的对边平行的性质得到平面 内的线垂直于平面 内的线,进而得到面面垂直;(2)建立空间坐标系,求直线 的方向向量和面 的法向量,进而得到线面角.

  【详解】(1)证明:取 中点 , 的中点为M,连结 ,MN,则有 ∥ 且 = ∴四边形 为平行四边形, ∥

  ∵ 面 ,

  ∴ ,又

  ∴ 平面 故 ⊥平面 .

  所以平面 平面

  (2)如图建立空间直角坐标系,则B(- ,0,0),A( ,0,0),

  因为 是线段 的中点,所以M

  所以

  设 是平面 的一个法向量,因为

  所以,由

  所以可取

  【点睛】这个题目考查了面面垂直的证明,以及线面角的求法,求线面角,一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离,除以线段长度就是线面角的正弦值;还可以建系,用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量,再求线面角即可。

  20.为了积极支持雄安新区建设,某投资公司计划明年投资1000万元给雄安新区甲、乙两家科技企业,以支持其创新研发计划,经有关部门测算,若不受中美贸易战影响的话,每投入100万元资金,在甲企业可获利150万元,若遭受贸易战影响的话,则将损失50万元;同样的情况,在乙企业可获利100万元,否则将损失20万元,假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为0.6和0.5.

  (1)若在甲、乙两企业分别投资500万元,求获利1250万元的概率;

  (2)若在两企业的投资额相差不超过300万元,求该投资公司明年获利约在什么范围内?

  【答案】(1)0.2 (2)其获利区间范围为335与365万元之间

  【解析】

  【分析】

  (1)由已知条件可知,在甲、乙两公司分别投资500万元的情况下欲获利1250万元,须且必须两公司均不遭受贸易战的影响,故可列出式子即可;(2)先求得投资100万元在甲公司获利的期望30万,乙为40万,设在甲、乙两公司的投资分别为x,(1000-x)万元,则平均获利z=0.3x+0.4(1000-x)=400-0.1x万元,根据x的范围可得到z的范围.

  【详解】(1)由已知条件可知,在甲、乙两公司分别投资500万元的情况下欲获利1250万元,须且必须两公司均不遭受贸易战的影响.

  故所求的概率为P=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2.

  (2)设投资100万元在甲公司获利万元,则的可能取值为150和-50万元.

  又甲公司遭受贸易战影响的概率为0.6

  故投资100万元在甲公司获利的期望为150×0.4+(-50)×0.6=30万元.

  同理在乙公司获利的期望为100×0.5+(-20)×0.5=40万元.

  设在甲、乙两公司的投资分别为x,(1000-x)万元,则平均获利

  z=0.3x+0.4(1000-x)=400-0.1x万元(其中 ).

  由于上述函数为减函数,所以其获利区间范围为335与365万元之间.

  【点睛】这个题目考查了互相独立事件的概率的求法,以及离散型随机变量的均值的求法,即期望的求法;其中互相独立事件A和B,P(AB)=P(A)P(B).

  21.设点 在以 , 为焦点的椭圆 上.

  (1)求椭圆 的方程;

  (2)经过 作直线 交 于两点 ,交 轴于 点,若 , ,且 ,求 与 .

  【答案】(1) (2)

  【解析】

  【分析】

  (1)根据椭圆的定义得到2a值,由题干得到c=2,进而得到方程;(2)设出A、B、M点的坐标,根据向量关系得到A点坐标 , ,代入椭圆方程得到关于 的方程,同理得到关于 的方程,进而抽出 、 是方程 的两个根,解出即可得到 与 .

  【详解】(1)因为点P 在以 为焦点的椭圆C 上,所以

  所以 .

  又因为c=2,所以

  所以椭圆C的方程为

  (2)设A、B、M点的坐标分别为A( , ),B( , ),M(0, ).

  ∵ 2, ∴ ( , )

  ∴ ,

  将A点坐标代入到椭圆方程中,得 .

  去分母整理得 :

  同理,由 2可得:

  ∴ 、 是方程 的两个根,

  ∴ ,又

  二者联立解得

  或所以 又 ,所以

  所以上述方程即为

  所以

  【点睛】这个题目考查了椭圆的方程的求法,还考查了向量在圆锥曲线中的应用,一般采用的是向量坐标化,得到点坐标间的关系,再通过题干列出相应的方程进行分析即可.

  22.已知函数 .

  (1)若 ,求函数 的单调区间;

  (2)若函数 在区间 上不单调,求实数 的取值范围;

  (3)求证: 或 是函数 在 上有三个不同零点的必要不充分条件.

  【答案】(1)函数 的单调递增区间为 ,没有单调递减区间. (2) (3)见解析

  【解析】

  【分析】

  (1)将参数值k代入解析式,对函数求导,得到导函数大于0,进而得到函数只有增区间没有减区间;(2)对函数求导, 在区间 上不单调所以 在 上有实数解,且无重根,变量分离即方程 有解,通过换元得到新函数的单调性,对方程的根进行讨论即可;(3)证明: 或 则函数 在 上不能有三个不同零点,证明,函数有3个不同零点则 或 即可.

  【详解】(1)若k=-1,则 ,所以

  由于△=16-48<0,

  所以函数 的单调递增区间为 ,没有单调递减区间.

  (2)因

  ,因 在区间 上不单调,

  所以 在 上有实数解,且无重根,

  由 得

  令 有 ,记 则 ,

  所以在 上,h(t)单调递减,在 上, h(t)单调递增,

  所以有 ,于是得

  而当 时有 在 上有两个相等的实根 ,故舍去

  所以 .

  (3)因为

  所以,当△= ,即 时

  函数 在R上单调递增

  故 在R上不可能有三个不同零点

  所以,若 在R上有三个不同零点,则必有△ ,

  即 是 在R上有三个不同零点的必要条件.

  而当 , 时,满足

  但

  即此时 只有两个不同零点

  同样,当 时,满足 ,

  但

  即此时 也只有两个不同零点

  故k<-2或k>7是 在R上有三个不同零点的必要不充分条件.

  【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值,是高考经常涉及的重点问题,(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解;(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图象与参数的交点个数;(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.

  高三理科数学上学期期末试卷

  第Ⅰ卷(共60分)

  一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.设全集为 ,集合 , ,则 ( )

  A. B.

  C. D.

  【答案】B

  【解析】

  【分析】

  先化简B,再根据补集、交集的定义即可求出.

  【详解】∵A={x|0

  ∴?RB={x|x<1},

  ∴A∩(?RB)={x|0

  故选:B.

  【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.

  2.下面是关于复数 的四个命题:

  ; ; 的虚部为2; 的共轭复数为 .

  其中真命题为( )

  A. B. C. D.

  【答案】A

  【解析】

  【分析】

  先将复数化简运算,可得|z|及 和共轭复数,再依次判断命题的真假.

  【详解】复数z 2+2i.可得|z|=2 ,所以p1:|z|=2;不正确;

  z2=(2+2i)2=8i,所以p2:z2=8i;正确;

  z=2+2i.z的虚部为2;可得p3:z的虚部为2;正确;

  z=2+2i的共轭复数为:2﹣2i;所以p4:z的共轭复数为﹣2﹣2i不正确;

  故选:A.

  【点睛】本题考查复数的运算法则以及命题的真假的判断与应用,是对基本知识的考查.

  3.已知某产品连续4个月的广告费 (千元)与销售额 (万元)( )满足 , ,若广告费用 和销售额 之间具有线性相关关系,且回归直线方程为 , ,那么广告费用为5千元时,可预测的销售额为( )万元

  A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 3.75

  【答案】D

  【解析】

  【分析】

  求出样本中心点代入回归直线方程,可得a,再将x=6代入,即可得出结论.

  【详解】由题意, , ,

  代入 0.6x+a,可得3=0.6×3.75+a,

  所以a=0.75,

  所以 0.6x+0.75,

  所以x=5时, 0.6×5+0.75=3.75,

  故选:D.

  【点睛】本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,利用回归方程恒过样本中心点是关键.

  4.已知数列 为等差数列,且 成等比数列,则 的前6项的和为( )

  A. 15 B. C. 6 D. 3

  【答案】C

  【解析】

  【分析】

  利用 成等比数列,得到方程2a1+5d=2,将其整体代入 {an}前6项的和公式中即可求出结果.

  【详解】∵数列 为等差数列,且 成等比数列,∴ ,1, 成等差数列,

  ∴2 ,

  ∴2=a1+a1+5d,

  解得2a1+5d=2,

  ∴{an}前6项的和为 2a1+5d)= .

  故选:C.

  【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用.

  5.已知定义在 的奇函数 满足 ,当 时, ,则 ( )

  A. B. 1 C. 0 D. -1

  【答案】D

  【解析】

  【分析】

  根据题意,分析可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数是周期为4的周期函数,可得f(2019)=f(﹣1+2020)=f(﹣1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案.

  【详解】根据题意,函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数是周期为4的周期函数,

  则f(2019)=f(﹣1+2020)=f(﹣1),

  又由函数为奇函数,则f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(1)2=﹣1;

  则f(2019)=﹣1;

  故选:D.

  【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用,注意分析函数的周期.

  6.设 且 ,则 是 的( )

  A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

  C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

  【答案】D

  【解析】

  【分析】

  由题意看命题“ab>1”与“ ”能否互推,然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.

  【详解】若“ab>1”当a=﹣2,b=﹣1时,不能得到“ ”,

  若“ ”,例如当a=1,b=﹣1时,不能得到“ab>1“,

  故“ab>1”是“ ”的既不充分也不必要条件,

  故选:D.

  【点睛】本小题主要考查了充分必要条件,考查了对不等关系的分析,属于基础题.

  7.设 , , ,若 ,则与的夹角为( )

  A. B. C. D.

  【答案】A

  【解析】

  【分析】

  由向量的坐标运算得: (0, ),由数量积表示两个向量的夹角得:cosθ , 可得结果.

  【详解】由 (1, ), (1,0), .

  则 (1+k, ),

  由 ,

  则 0,

  即k+1=0,即k=﹣1,即 (0, ),

  设 与 的夹角为θ,

  则cosθ ,

  又θ∈[0,π],

  所以 ,

  故选:A.

  【点睛】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算,属于简单题

  8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果小正方形的面积为 ,大正方形的面积为 ,直角三角形中较小的锐角为,则 ( )

  A. B. C. D.

  【答案】D

  【解析】

  【分析】

  由图形可知三角形的直角边长度差为a,面积为6 ,列方程组求出直角边得出sinθ,代入所求即可得出答案.

  【详解】由题意可知小正方形的边长为a,大正方形边长为5a,直角三角形的面积为 6 ,

  设直角三角形的直角边分别为x,y且x

  ∴直角三角形的面积为S xy=6 ,

  联立方程组可得x=3a,y=4a,

  ∴sinθ ,tanθ= .

  ∴ = = = ,

  故选:D.

  【点睛】本题考查了解直角三角形,三角恒等变换,属于基础题.

  9.如图所示,正方形的四个顶点 , , , ,及抛物线 和 ,若将一个质点随机投入正方形 中,则质点落在图中阴影区域的概率是( )

  A. B. C. D.

  【答案】B

  【解析】

  【分析】

  利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论.

  【详解】∵A(﹣1,﹣1),B(1,﹣1),C(1,1),D(﹣1,1),

  ∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4,

  根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积:

  S=2 [1﹣ ]dx=2( x3) 2[(1 )﹣0]=2 ,

  则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 .

  故选:B.

  【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算,利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键.

  10.如果 是抛物线 上的点,它们的横坐标 , 是抛物线 的焦点,若 ,则 ( )

  A. 2028 B. 2038 C. 4046 D. 4056

  【答案】B

  【解析】

  【分析】

  由抛物线性质得|PnF| xn+1,由此能求出结果.

  【详解】∵P1,P2,…,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,

  它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,

  ,

  ∴

  =(x1+1)+(x2+1)+…+(x2018+1)

  =x1+x2+…+x2018+2018

  =2018+20=2038.

  故选:B.

  【点睛】本题考查抛物线中一组焦半径和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意抛物线的性质的合理运用.

  11.已知函数 ,记 ,若 存在3个零点,则实数的取值范围是( )

  A. B.

  C. D.

  【答案】C

  【解析】

  【分析】

  由g(x)=0得f(x)=ex+a,分别作出两个函数的图象,根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可.

  【详解】由g(x)=0得f(x)=ex+a,

  作出函数f(x)和y=ex+a的图象如图:

  当直线y=ex+a过A 点时,截距a= ,此时两个函数的图象有2个交点,

  将直线y=ex+a向上平移到过B(1,0)时,截距a=-e,两个函数的图象有2个交点,

  在平移过程中直线y=ex+a与函数f(x)图像有三个交点,

  即函数g(x)存在3个零点,

  故实数a的取值范围是 ,

  故选:C.

  【点睛】本题主要考查分段函数的应用,考查了函数零点问题,利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键,属于中档题.

  12.设 是双曲线 的左右焦点, 是坐标原点,过 的一条直线与双曲线 和 轴分别交于 两点,若 , ,则双曲线 的离心率为( )

  A. B. C. D.

  【答案】D

  【解析】

  【分析】

  由条件得到 = ,连接A ,在三角形 中,由余弦定理可得A ,

  再由双曲线定义A =2a,可得.

  【详解】∵ ,得到| ,∴ = ,又 ,连接A , ,在三角形 中,由余弦定理可得A ,

  又由双曲线定义A =2a,可得 ,∴ = ,

  故选D.

  【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法,综合考查了三角形中余弦定理的应用,属于中档题.

  第Ⅱ卷(共90分)

  二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

  13.若 满足约束条件 ,则 的最大值为____.

  【答案】5

  【解析】

  【分析】

  画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,转化求解目标函数的最值即可.

  【详解】x,y满足约束条件 的可行域如图:

  由 解得A(1,2).

  由可行域可知:目标函数经过可行域A时,

  z=x+2y取得最大值:5.

  故答案为:5.

  【点睛】本题考查线性规划的简单应用,目标函数的几何意义是解题的关键,考查计算能力.

  14.设 ,则 的值为__________.

  【答案】1

  【解析】

  【分析】

  分别令x=0和x=-1,即可得到所求.

  【详解】由条件 ,令x=0,则有 =0,再令x=-1,则有-1= ,∴ ,

  故答案为1.

  【点睛】本题考查二项式定理的系数问题,利用赋值法是解决问题的关键,属于中档题.

  15.在平面直角坐标系 中,已知过点 的直线与圆 相切,且与直线 垂直,则实数 __________.

  【答案】

  【解析】

  因为 在圆 上,所以圆心与切点 的连线与切线垂直,又知与直线与直线 垂直,所以圆心与切点 的连线与直线 斜率相等, ,所以 ,故填: .

  16.已知函数 ,过点 作与 轴平行的直线交函数 的图像于点 ,过点 作 图像的切线交 轴于点 ,则 面积的最小值为____.

  【答案】

  【解析】

  【分析】

  求出f(x)的导数,令x=a,求得P的坐标,可得切线的斜率,运用点斜式方程可得切线的方程,令y=0,可得B的坐标,再由三角形的面积公式可得△ABP面积S,求出导数,利用导数求最值,即可得到所求值.

  【详解】函数f(x)= 的导数为f′(x) ,

  由题意可令x=a,解得y ,

  可得P(a, ),

  即有切线的斜率为k ,

  切线的方程为y﹣ (x ),

  令y=0,可得x=a﹣1,

  即B( a﹣1,0),

  在直角三角形PAB中,|AB|=1,|AP| ,

  则△ABP面积为S(a) |AB|•|AP| • ,a>0,

  导数S′(a) • ,

  当a>1时,S′>0,S(a)递增;当0

  即有a=1处S取得极小值,且为最小值 e.

  故答案为: e.

  【点睛】本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值和最值,注意运用直线方程和构造函数法,考查运算能力,属于中档题.

  三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

  17.已知函数 的最小正周期为 ,将函数 的图像向右平移 个单位长度,再向下平移 个单位长度,得到函数 的图像.

  (1)求函数 的单调递增区间;

  (2)在锐角 中,角 的对边分别为 ,若 , ,求 面积的最大值.

  【答案】(1) (2)

  【解析】

  【分析】

  (1)利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,再根据正弦函数的单调求得函数f(x)的单调递增区间.

  (2)先利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,在锐角△ABC中,由g( )=0,求得A的值,再利用余弦定理、基本不等式,求得bc的最大值,可得△ABC面积的最大值.

  【详解】(1)由题得:函数

  =

  =

  ,

  由它的最小正周期为 ,得 ,

  ∴

  由 ,得

  故函数 的单调递增区间是

  (2)将函数 的图像向右平移 个单位长度,再向下平移 个单位长度,得到函数 的图像,

  在锐角 中,角 的对边分别为 ,

  若 ,可得 ,∴ .

  因为 ,由余弦定理,得 ,

  ∴ ,

  ∴ ,当且仅当 时取得等号.

  ∴ 面积 ,

  故 面积的最大值为

  【点睛】本题主要考查三角恒等变换,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的单调性,余弦定理、基本不等式的应用,属于中档题.

  18.设 是等差数列,前 项和为 , 是等比数列,已知 , , , .

  (1)求数列 和数列 的通项公式;

  (2)设 ,记 ,求 .

  【答案】(1) , ;(2)

  【解析】

  【分析】

  (1)设数列 的公差为 等比数列{bn}的公比为q,由已知列式求得d,q及首项,则可求数列 和{bn}的通项公式;

  (2)由(1)知, ,利用错位相减直接求和.

  【详解】(1)设数列 的公差为 ,等比数列 的公比为

  由已知得: ,即 ,

  又 ,所以 ,

  所以

  由于 ,

  ,

  所以 ,即 ( 不符合题意,舍去)

  所以 ,

  所以 和 的通项公式分别为 , .

  (2)由(1)知, ,

  所以

  所以

  上述两式相减,得:

  =

  = ,

  得 .

  【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识,考查数列求和的基本方法及运算能力,是中档题.

  19.已知椭圆 ,点 在椭圆 上,椭圆 的离心率是 .

  (1)求椭圆 的标准方程;

  (2)设点 为椭圆长轴的左端点, 为椭圆上异于椭圆 长轴端点的两点,记直线 斜率分别为 ,若 ,请判断直线 是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由.

  【答案】(1) (2)过定点

  【解析】

  【分析】

  (1)由点M(﹣1, )在椭圆C上,且椭圆C的离心率是 ,列方程组求出a=2,b ,由此能求出椭圆C的标准方程.

  (2)设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+m,联立 ,得:(4k2+3)x2+8kmx+(4m2﹣12)=0,利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件得直线PQ的方程过定点(1,0);再验证直线PQ的斜率不存在时,同样推导出x0=1,从而直线PQ过(1,0).由此能求出直线PQ过定点(1,0).

  【详解】(1)由点 在椭圆 上,且椭圆 的离心率是 ,

  可得 ,

  可解得:

  故椭圆 的标准方程为 .

  (2)设点 的坐标分别为 ,

  (ⅰ)当直线 斜率不存在时,由题意知,直线方程和曲线方程联立得: , ,

  (ⅱ)当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,

  联立 ,消去 得: ,

  由 ,有 ,

  由韦达定理得: , ,

  故 ,可得: ,

  可得: ,

  整理为: ,

  故有 ,

  化简整理得: ,解得: 或 ,

  当 时直线 的方程为 ,即 ,过定点 不合题意,

  当 时直线 的方程为 ,即 ,过定点 ,

  综上,由(ⅰ)(ⅱ)知,直线 过定点 .

  【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程是否过定点的判断与求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,是中档题.

  20.在创新“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次),通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示:

  (1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分 , 近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求 ;

  (2)在(1)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:

  ①得分不低于 的可以获赠2次随机话费,得分低于 的可以获赠1次随机话费;

  ②每次获赠的随机话费和对应的概率为:

  现有市民甲参加此次问卷调查,记 (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求 的分布列与数学期望.

  附:参考数据与公式: ,若 ,则 , , .

  【答案】(1)0.8185(2)详见解析

  【解析】

  【分析】

  (1)由题意计算平均值,根据Z~N( , )计算 的值;

  (2)由题意知X的可能取值,计算对应的概率值,写出分布列,计算数学期望值.

  【详解】(1)由题意得:

  ∴ ,∵ ,

  ∴ ,

  ,

  ∴

  综上,

  (2)由题意知, ,

  获赠话费 的可能取值为20,40,50,70,100

  ;

  ;

  ;

  ,

  ;

  的分布列为:

  ∴

  【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布等基础知识,也考查了运算求解能力,是中档题.

  21.已知函数 , , .

  (1)已知 为函数 的公共点,且函数 在点 处的切线相同,求的值;

  (2)若 在 上恒成立,求的取值范围.

  【答案】(1) (2)

  【解析】

  【分析】

  (1)求出函数的导数,由函数f(x),g(x)在点T处的切线相同,得到 ,且 ,从而求出a的值即可;

  (2)令 ,将a与0、e分别比较进行分类,讨论 的单调性及最值情况,从而找到符合条件的a的值.

  【详解】(1)由题意 , ,

  ∵点 为函数 的公共点,且函数 在点 处的切线相同,

  故 且 ,

  由(2)得: ,

  ∵ ,∴ ,从而 ,∴

  代入(1)得: ,∴ , .

  (2)令

  ,

  ①当 时, , 在 单调递增,

  ∴ ,满足题意;

  ②当 时,

  ∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ 在 单调递增,

  需 解得: ,∴

  ③当 时, ,使

  当 时, , 单调递减;

  当 时, , 单调递增;

  ,

  ∵ ,

  ∴

  ,不恒成立,

  综上,实数的取值范围是 .

  【点睛】本题考查了导数的几何意义及函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题.

  请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

  22.选修4-4:坐标系与参数方程

  在平面直角坐标系 中,直线的参数方程为 (为参数, ),以坐标原点 为极点,以 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程是 .

  (1)求直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程;

  (2)已知直线与曲线 交于 两点,且 ,求实数的值.

  【答案】(1)的普通方程 ; 的直角坐标方程是 ;(2)

  【解析】

  【分析】

  (1)把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程,由曲线C的极坐标方程为ρ=2 sin(θ ),展开得 (ρsinθ+ρcosθ),利用 即可得出曲线 的直角坐标方程;

  (2)先求得圆心 到直线 的距离为 ,再用垂径定理即可求解.

  【详解】(1)由直线的参数方程为 ,所以普通方程为

  由曲线 的极坐标方程是 ,

  所以 ,

  所以曲线 的直角坐标方程是

  (2)设 的中点为 ,圆心 到直线 的距离为 ,则 ,

  圆 ,则 , ,

  ,

  由点到直线距离公式,

  解得 ,所以实数的值为 .

  【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程,考查了点到直线的距离公式,圆中垂径定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

  23.选修4-5:不等式选讲

  已知函数 .

  (1)若不等式 的解集为 ,求的值;

  (2)当 时,求 的解集.

  【答案】(1) ;(2)

  【解析】

  【分析】

  (1)通过讨论a的范围,求出不等式的解集,结合对应关系求出a的值即可;

  (2)代入a的值,通过讨论x的范围,求出各个区间上的不等式的解集,取并集即可.

  【详解】(1)由 得 ,

  当 时,

  由 ,得 ,

  当 时,

  由 ,无解

  所以 .

  (2)

  当 时,原不等式化为 ,所以 ;

  当 时,原不等式化为 ,所以 (舍);

  当 时,原不等式化为

  所以,不等式的解集为 .

  【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想,转化思想,是一道中档题.

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