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第一学期高三年级数学期末试卷题

时间:2019-03-22 阅读:

  我们大家在学习数学的时候如果不知道从哪里考试学习起来就看看吧,小编今天下面就给大家整理高三数学,喜欢的就来一起学习

  高三年级数学期末试卷题

  参考公式:1.柱体的体积公式: ,其中 是柱体的底面面积, 是高.

  2.圆锥的侧面积公式: ,其中是圆锥底面的周长, 是母线长.

  一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.

  1.已知集合 , ,则 ▲ .

  2.已知复数 ( 为虚数单位),则的模为 ▲ .

  3.函数 的定义域为 ▲ .

  4.如图是一个算法的伪代码,运行后输出 的值为 ▲ .

  5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩,并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有 ▲ 人.

  6.在平面直角坐标系 中,已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率为 ▲ .

  7.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ .

  8.已知正四棱柱的底面边长为 ,侧面的对角线长是 ,则这个正四棱柱的体积是 ▲ .

  9.若函数 的图象与直线 的三个相邻交点的横坐标分别是 , , ,则实数 的值为 ▲ .

  10.在平面直角坐标系 中,曲线 上任意一点 到直线 的距离的最小值为 ▲ .

  11.已知等差数列 满足 , ,则 的值为 ▲ .

  12.在平面直角坐标系 中,若圆 上存在点 ,且点 关于直线 的对称点 在圆 上,则的取值范围是 ▲ .

  13.已知函数 函数 ,则不等式 的解集为 ▲ .

  14.如图,在 中,已知 , 为边 的中点.若 ,垂足为 ,则EB·EC的值为▲.

  二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.

  15.(本小题满分14分)

  在 中,角 , , 所对的边分别为, ,,且 , .

  ⑴求 的值;

  ⑵若 ,求 的面积.

  16.(本小题满分14分)

  如图,在直三棱柱 中, , , , 分别是 , 的中点.

  求证:⑴ ;

  ⑵ .

  17.(本小题满分14分)

  某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成,如图2.已知圆O的半径为10cm,设∠BAO=θ, ,圆锥的侧面积为Scm2.

  ⑴求S关于θ的函数关系式;

  ⑵为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.

  18.(本小题满分16分)

  如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 的离心率为 ,且过点 . 为椭圆的右焦点, 为椭圆上关于原点对称的两点,连接 分别交椭圆于 两点.

  ⑴求椭圆的标准方程;

  ⑵若 ,求 的值;

  ⑶设直线 , 的斜率分别为 , ,是否存在实数,使得 ,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

  19.(本小题满分16分)

  已知函数 .

  ⑴当 时,求函数 的极值;

  ⑵若存在与函数 , 的图象都相切的直线,求实数 的取值范围.

  20.(本小题满分16分)

  已知数列 ,其前 项和为 ,满足 , ,其中 , , , .

  ⑴若 , , ( ),求证:数列 是等比数列;

  ⑵若数列 是等比数列,求 , 的值;

  ⑶若 ,且 ,求证:数列 是等差数列.

  数学参考答案与评分标准

  一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.

  1. 2. 3. 4. 5.750 6. 7. 8.

  9. 10. 11. 12. 13. 14.

  二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.

  15.(1)在 中,由 ,得 为锐角,所以 ,

  所以 ,………………………………………………………………2分

  所以 . ………………………………4分

  …………………………………………………………6分

  (2)在三角形 中,由 ,

  所以 , ………………………………………………8分

  由 ,…………………………10分

  由正弦定理 ,得 ,………………………12分

  所以 的面积 . …………………………14分

  16.(1)证明:取 的中点 ,连结

  因为 分别是 的中点,

  所以 且

  在直三棱柱 中, , ,

  又因为 是 的中点,

  所以 且 . …………………………………………2分

  所以四边形 是平行四边形,

  所以 ,………………………………………………………………4分

  而 平面 , 平面 ,

  所以 平面 . ……………………………………………………6分

  (2)证明:因为三棱柱 为直三棱柱,所以 面 ,

  又因为 面 ,

  所以面 面 ,…………………8分

  又因为 ,所以 ,

  面 面 , ,

  所以 面 , ………………………10分

  又因为 面 ,

  所以 ,即 ,

  连结 ,因为在平行四边形 中, ,

  所以 ,

  又因为 ,且 , 面 ,

  所以 面 ,……………………………………………………………………12分

  而 面 ,

  所以 .……………………………………………………………………………14分

  17.(1)设 交 于点 ,过 作 ,垂足为 ,

  在 中, , ,

  …………………………………………………………2分

  在 中, ,

  …………………………………………………………4分

  所以

  , ……………………6分

  (2)要使侧面积最大,由(1)得:

  …………8分

  设

  则 ,由 得:

  当 时, ,当 时,

  所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,

  所以 在 时取得极大值,也是最大值;

  所以当 时,侧面积 取得最大值,…………………………11分

  此时等腰三角形的腰长

  答:侧面积 取得最大值时,等腰三角形的腰 的长度为 .…………14分

  18.(1)设椭圆方程为 ,由题意知: ……………2分

  解之得: ,所以椭圆方程为: ……………………………4分

  (2)若 ,由椭圆对称性,知 ,所以 ,

  此时直线 方程为 ,……………………………………………6分

  由 ,得 ,解得 ( 舍去),…………8分

  故 .…………………………………………………………………10分

  (3)设 ,则 ,

  直线 的方程为 ,代入椭圆方程 ,得

  ,

  因为 是该方程的一个解,所以 点的横坐标 ,…………………12分

  又 在直线 上,所以 ,

  同理, 点坐标为 , ,……………………………………………14分

  所以 ,

  即存在 ,使得 . ………………………………………………………16分

  19.(1)函数 的定义域为

  当 时, ,

  所以 ………………………………………………2分

  所以当 时, ,当 时, ,

  所以函数 在区间 单调递减,在区间 单调递增,

  所以当 时,函数 取得极小值为 ,无极大值;…………………4分

  (2)设函数 上点 与函数 上点 处切线相同,

  则

  所以 ……………………………………6分

  所以 ,代入 得:

  ………………………………………………8分

  设 ,则

  不妨设 则当 时, ,当 时,

  所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,……………10分

  代入 可得:

  设 ,则 对 恒成立,

  所以 在区间 上单调递增,又

  所以当 时 ,即当 时 , ……………12分

  又当 时

  ……………………………………14分

  因此当 时,函数 必有零点;即当 时,必存在 使得 成立;

  即存在 使得函数 上点 与函数 上点 处切线相同.

  又由 得:

  所以 单调递减,因此

  所以实数 的取值范围是 .…………………………………………………16分

  20.(1)证明:若 ,则当 ( ),

  所以 ,

  即 ,

  所以 ,……………………………………………………………2分

  又由 , ,

  得 , ,即 ,

  所以 ,

  故数列 是等比数列.……………………………………………………………4分

  (2)若 是等比数列,设其公比为 ( ),

  当 时, ,即 ,得

  ,           ①

  当 时, ,即 ,得

  ,         ②

  当 时, ,即 ,得

  ,        ③

  ②① ,得 ,

  ③② ,得 ,

  解得 .

  代入①式,得 .…………………………………………………………………8分

  此时 ( ),

  所以 , 是公比为1的等比数列,

  故 .……………………………………………………………………10分

  (3)证明:若 ,由 ,得 ,

  又 ,解得 .…………………………………………………12分

  由 , , , ,代入 得 ,

  所以 , , 成等差数列,

  由 ,得 ,

  两式相减得:

  即

  所以

  相减得:

  所以

  所以

  , ……………………………………14分

  因为 ,所以 ,

  即数列 是等差数列.………………………………………………………………16分

  高三数学文科上学期期末试卷

  第Ⅰ卷

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.[2018•重庆11月调研]已知 为虚数单位,则 ( )

  A. B.1 C. D.

  2.[2018•中山一中]设集合 , ,则集合 等于( )

  A. B. C. D.

  3.[2018•浙江学考]函数 的图像不可能是( )

  A. B.

  C. D.

  4.[2018•天水一中]设向量 , 满足 , ,则 ( )

  A.6 B. C.10 D.

  5.[2018•蓝圃学校]甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为 ,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为 ,且 .若 ,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则二人“心有灵犀”的概率为( )

  A. B. C. D.

  6.[2018•和平区期末]已知直线 为双曲线 的一条渐近线,则该双曲线的离心率是( )

  A. B. C. D.

  7.[2018•玉林摸底]在 中, , , 的对边分别为 , , ,已知 , , ,则 的周长是( )

  A. B. C. D.

  8.[2018•五省联考]有一程序框图如图所示,要求运行后输出的值为大于1000的最小数值,则在空白的判断框内可以填入的是( )

  A. B. C. D.

  9.[2018•赣州期中]如图,棱长为1的正方体 中, 为线段 上的动点,则 的最小值为( )

  A. B. C. D.

  10.[2018•吉林调研]将函数 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变,再把所得函数的图象向右平移 个单位长度,最后得到图象对应的函数为奇函数,则 的最小值为( )

  A. B. C. D.

  11.[2018•书生中学]过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 , 两点,若线段 中点的横坐标为 , ,则 ( )

  A. B. C. D.

  12.[2018•娄底模拟]已知 为定义在 上的奇函数, ,且当 时, 单调递增,则不等式 的解集为( )

  A. B. C. D.

  第Ⅱ卷

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

  13.[2018湖北七校联考•]若函数 为奇函数,则曲线 在点 处的切线方程为______________.

  14.[2018•九江十校联考]已知实数 , 满足不等式组 ,那么 的最大值和最小值分别是 和 ,则 ___________.

  15.[2018•山师附中]已知 ,则 ___________.

  16.[2018•陕西四校联考]直三棱柱 的底面是直角三角形,侧棱长等于底面三角形的斜边长,若其外接球的体积为 ,则该三棱柱体积的最大值为__________.

  三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.(12分)[2018•重庆一中]已知数列 为等比数列, , 是 和 的等差中项.

  (1)求数列 的通项公式;

  (2)设 ,求数列 的前 项和 .

  18.(12分)[2018•中山一中]下图是我国2010年至生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

  注:年份代码1~7分别对应年份2010~2016.

  (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 与 的关系,请求出相关系数 ,并用相关系数的大小说明 与 相关性的强弱;

  (2)建立 关于 的回归方程(系数精确到 ),预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.附注:

  参考数据: , , , .

  参考公式:相关系数 ,

  回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: , .

  19.(12分)[2018•化州一模]如图所示,在四棱锥 中, 平面 , , , .

  (1)求证: ;

  (2)当几何体 的体积等于 时,求四棱锥 的侧面积.

  20.(12分)[2018•黄山八校联考]已知椭圆 的左、右焦点分别为 , ,离心率 ,点 是椭圆上的一个动点, 面积的最大值是 .

  (1)求椭圆的方程;

  (2)若 , , , 是椭圆上不重合的四点, 与 相交于点 , ,且 ,求此时直线 的方程.

  21.(12分)[2018•东师附中]已知函数 .

  (1)求函数 的单调区间;

  (2)若 恒成立,求 的值.

  请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

  22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】

  [2018•安丘质检]在直角坐标系 中,直线 经过点 ,倾斜角 ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 .

  (1)求曲线 的直角坐标方程并写出直线 的参数方程;

  (2)直线 与曲线 的交点为 , ,求点 到 、 两点的距离之积.

  23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】

  [2018•湖北、山东联考]已知函数 .

  (1)解不等式 ;

  (2)若不等式 有解,求实数 的取值范围.

  文科数学答案

  第Ⅰ卷

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.【答案】B

  【解析】 ,故选B.

  2.【答案】A

  【解析】由集合 , ,

  则集合 ,故选A.

  3.【答案】A

  【解析】直接利用排除法: ①当 时,选项B成立;

  ②当 时, ,函数的图象类似D;

  ③当 时, ,函数的图象类似C;故选A.

  4.【答案】D

  【解析】∵向量 , 满足 , ,∴ ,解得 .

  则 .故选D.

  5.【答案】A

  【解析】由题意,可知甲乙两人各猜一个数字,共有 (种)猜字结果,

  其中满足 的有:

  当 时, ,1;当 时, ,1,2;当 时, ,2,3;

  当 时, ,3,4;当 时, ,4,5;当 时, ,5,6;

  当 时, ,6,7;当 时, ,7,8;当 时, ,8,9;

  当 时, ,9,共有 种,

  ∴他们“心有灵犀”的概率为 ,故选A.

  6.【答案】D

  【解析】结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为 ,

  则双曲线的一条渐近线为 ,

  据此有 ,∴ .故选D.

  7.【答案】C

  【解析】∵ ,∴由正弦定理得 ,

  由余弦定理得 ,

  又 ,解得 , .∴ 的周长是 .故选C.

  8.【答案】B

  【解析】程序运行过程如下:首先初始化数据: , ,

  此时 的值不大于 ,应执行: , ;

  此时 的值不大于 ,应执行: , ;

  此时 的值不大于 ,应执行: , ;

  此时 的值不大于 ,应执行: , ;

  此时 的值不大于 ,应执行: , ;

  此时 的值不大于 ,应执行: , ;

  此时 的值大于 ,应跳出循环,

  即 时程序不跳出循环, 时程序跳出循环,

  结合选项可知空白的判断框内可以填入的是 .故选B.

  9.【答案】B

  【解析】由题意,将面 与面 沿 展开成平面图形,如图所示,

  线段 即为 的最小值,

  在 中,利用余弦定理可得 ,故选B.

  10.【答案】D

  【解析】由已知 ,将函数 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变,可得 的图象;

  再把所得的图象向右平移 个单位长度,可得 的图象;

  根据所得函数的图象对应的函数为奇函数,则 , ;

  解得 , ;

  令 ,可得 的最小正值是 .故选D.

  11.【答案】B

  【解析】设 , ,∵过抛物线 的焦点 ,

  设直线方程为 ,代入抛物线方程可得 ,

  ∴ , ,

  ∴ ,

  ∴ ,∴ , ,

  ∴ ,

  解得 ,故选B.

  12.【答案】B

  【解析】由奇函数的性质结合题意可知函数 是定义在 上的单调递增函数,

  不等式 ,即 ,

  即 ,结合函数的单调性可得 ,

  求解不等式可得不等式 的解集为 .故选B.

  第Ⅱ卷

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

  13.【答案】

  【解析】 为奇函数,则 ,

  ∴ , ,∴ ,

  又 ,曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .

  14.【答案】0

  【解析】画出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示.

  由 得 ,结合图形,平移直线 可得,

  当直线经过可行域内的点A时,直线在 轴上的截距最大,此时 取得最大值;

  当直线经过可行域内的点B时,直线在 轴上的截距最小,此时 取得最小值.

  由题意得 , ,∴ , ,

  ∴ .故答案为0.

  15.【答案】

  【解析】有三角函数诱导公式: ,

  .

  16.【答案】

  【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为 , ,则棱柱的高 ,

  设外接球的半径为 ,则 ,解得 ,

  ∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心,

  ∴ .∴ ,∴ ,

  ∴ .当且仅当 时“ ”成立.∴三棱柱的体积 .

  故答案为 .

  三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.【答案】(1) ;(2) .

  【解析】(1)设数列 的公比为 ,∵ ,∴ , .

  ∵ 是 和 的等差中项,∴ .

  即 ,化简得 .

  ∵公比 ,∴ . ∴ .

  (2)∵ ,∴ .∴ ,

  则 .

  18.【答案】(1) ,说明 与 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系;

  (2) ,预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约 亿吨.

  【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 , , , ,

  ∴ .

  ∵ 与 的相关系数近似为 ,说明 与 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系.

  (2)由 及(1)得 ,

  ∴ .

  ∴ 关于 的回归方程为 .

  将2018年对应的 代入回归方程得 .

  ∴预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约 亿吨.

  19.【答案】(1)证明见解析;(2) .

  【解析】(1)连结 ,取 的中点 ,连结 ,

  则直角梯形 中, , ,∴ ,即 ,

  ∵ 平面 , 平面 ,∴ ,

  又 ,∴ 平面 ,

  由 平面 得 ;

  (2)∵ ,

  ∴ ,∴ , ,

  又 ,∴ ,∴ ,

  ∴四棱锥 的侧面积为

  .

  20.【答案】(1) ;(2) .

  【解析】(1)由题意知,当点 是椭圆上、下顶点时, 面积取得最大值,

  此时 ,又 ,

  解得 , ,所求椭圆的方程为 .

  (2)由(1)知 ,由 得 ,

  ①当直线 与 有一条直线的斜率不存在时, ,不合题意,

  ②当直线 的斜率为 ( 存在且不为0)时,其方程为 ,

  由 消去 得 ,

  设 , ,则 , ,

  ∴ ,

  直线 的方程为 ,同理可得 ,

  由 解得 ,故所求直线 的方程为 .

  21.【答案】(1)函数 的单调减区间为 ,单调增区间为 ;(2) .

  【解析】(1)依题意, ,令 ,解得 ,故 ,

  故当 时,函数 单调递减,当 时,函数 单调递增;

  故函数 的单调减区间为 ,单调增区间为 .

  (2) ,其中 ,

  由题意知 在 上恒成立, ,

  由(1)可知,∴ ,

  ∴ ,记 ,则 ,令 ,得 .

  当 变化时, , 的变化情况列表如下:

  0

  极大值

  ∴ ,故 ,当且仅当 时取等号,

  又 ,从而得到 .

  请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

  22.【答案】(1)曲线 的直角坐标方程为 ,

  的参数方程为 ;(2)3.

  【解析】(1)∵ ,

  ∴ ,即 ;直线 的参数方程为 ;

  (2)把 , 代入圆的直角坐标方程 得 ,

  设 , 是方程的两根,则 ,由参数 的几何意义,得 .

  23.【答案】(1) ;(2) 或 .

  【解析】(1) ,

  ∴ 或 或 ,解得 或 或无解,

  综上,不等式 的解集是 .

  (2)

  ,当 时等号成立,

  不等式 有解,∴ ,

  ∴ ,∴ 或 ,即 或 ,

  ∴实数 的取值范围是 或 .

  数学高三年级期中试卷考试

  第Ⅰ卷

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.[2018•攀枝花统考]已知集合 , ,则集合 ( )

  A. B. C. D.

  2.[2018•南宁三中]复数 满足 ,则 ( )

  A. B. C. D.

  3.[2018•青岛调研]如图,在正方体 中, 为棱 的中点,用过点 , , 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为( )

  A. B.

  C. D.

  4.[2018•佛山调研]已知 ,则 ( )

  A. B. C. 或1 D.1

  5.[2018•厦门质检]甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入,则这两名同学加入同一个社团的概率是( )

  A. B. C. D.

  6.[2018•中山一中]函数 的单调递增区间是( )

  A. , B. ,

  C. , D. ,

  7.[2018•山师附中]函数 是 上的偶函数,且 ,若 在 上单调递减,则函数 在 上是( )

  A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数

  8.[2018•棠湖中学]已知两点 , ,若曲线 上存在点 ,使得 ,则正实数 的取值范围为( )

  A. B. C. D.

  9.[2018•优创名校]函数 的图象大致为( )

  A. B.

  C. D.

  10.[2018•南海中学]已知双曲线 的右焦点为 ,点 在双曲线的渐近线上, 是边长为2的等边三角形( 为原点),则双曲线的方程为( )

  A. B.

  C. D.

  11.[2018•黄陵中学]在 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 , , ,则 ( )

  A. B. C. 或 D.

  12.[2018•赤峰二中]如图 是边长为1的正方体, 是高为1的正四棱锥,若点 , , , , 在同一个球面上,则该球的表面积为( )

  A. B. C. D.

  第Ⅱ卷

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

  13.[2018•南康模拟]已知单位向量 , 的夹角为 ,则 ________.

  14.[2018•南宁摸底]某学校共有教师300人,其中中级教师有120人,高级教师与初级教师的人数比为 .为了解教师专业发展要求,现采用分层抽样的方法进行调查,在抽取的样本中有中级教师72人,则该样本中的高级教师人数为__________.

  15.[2018•高新区月考]若实数 , 满足不等式组 ,则 的取值范围是__________.

  16.[2018•河南名校联盟]已知函数 ,函数 .若当 时,函数 与函数 的值域的交集非空,则实数 的取值范围为__________.

  三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.(12分)[2018•华侨中学]已知数列 的前 项和为 ,且 .

  (1)求数列 的通项公式;

  (2)求数列 的前 项和 .

  18.(12分)[2018•太原五中]为了解太原各景点在大众中的熟知度,随机对 岁的人群抽样了 人,回答问题“太原市有哪几个著名的旅游景点?”,统计结果及频率分布直方图如图表.

  组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率

  第1组

  第2组 18

  第3组

  第4组 9

  第5组 3

  (1)分别求出 , , , 的值;

  (2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组各抽取多少人?

  (3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.

  19.(12分)[2018•肇庆统测]如图1,在高为2的梯形 中, , , ,过 、 分别作 , ,垂足分别为 、 .已知 ,将梯形 沿 、 ,同侧折起,使得 , ,得空间几何体 ,如图2.

  (1)证明: ;

  (2)求三棱锥 的体积.

  20.(12分)[2018•成都实验中学]已知椭圆 的中心在原点,焦点在 轴上,焦距为 ,离心率为 .

  (1)求椭圆 的方程;

  (2)设直线 经过点 ,且与椭圆 交于 , 两点,若 ,求直线 的方程.

  21.(12分)[2018•齐齐哈尔期末]已知常数项为 的函数 的导函数为 ,其中 为常数.

  (1)当 时,求 的最大值;

  (2)若 在区间 ( 为自然对数的底数)上的最大值为 ,求 的值.

  请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

  22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】

  [2018•南昌模拟]在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数).以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 的极坐标方程为 .

  (1)求 的参数方程;

  (2)求直线 被 截得的弦长.

  23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】

  [2018•安康中学]已知函数 .

  (1)解不等式 ;

  (2)设函数 的最小值为 ,若 , 均为正数,且 ,求 的最小值.

  文科数学答案

  第Ⅰ卷

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.【答案】B

  【解析】集合 ,

  ∵ ,∴ ,故选B.

  2.【答案】D

  【解析】∵ ,∴ ,∴ .故选D.

  3.【答案】C

  【解析】取 中点 ,连接 , .平面 为截面.如下图:

  ∴故选C.

  4.【答案】D

  【解析】∵ ,

  又∵ ,∴ .故选D.

  5.【答案】B

  【解析】由题意,甲乙两名同学各自等可能地从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中选取一个社团加入,共有 种不同的结果,这两名同学加入同一个社团的有3种情况,

  则这两名同学加入同一个社团的概率是 .故选B.

  6.【答案】B

  【解析】由题意,函数 ,

  令 , ,解得 , ,

  即函数 单调递增区间是 , ,故选B.

  7.【答案】D

  【解析】已知 ,则函数周期 ,

  ∵函数 是 上的偶函数,在 上单调递减,

  ∴函数 在 上单调递增,即函数在 先减后增的函数.故选D.

  8.【答案】D

  【解析】∵ ,∴点 在圆 ,

  又点 还在圆 ,故 ,

  解不等式有 ,故选D.

  9.【答案】C

  【解析】由 ,得 为偶数,图象关于 轴对称,排除 ;

  ,排除 ; ,排除 ,故选C.

  10.【答案】B

  【解析】双曲线 的右焦点为 ,点 在双曲线的渐近线上, 是边长为2的等边三角形( 为原点),

  可得 , ,即 , ,解得 , ,

  双曲线的焦点坐标在 轴,所得双曲线的方程为 ,故选B.

  11.【答案】B

  【解析】利用正弦定理,同角三角函数关系,原式可化为: ,

  去分母移项得: ,

  ∴ ,∴ .由同角三角函数得: ,

  由正弦定理 ,解得 ,∴ 或 (舍).故选B.

  12.【答案】D

  【解析】设球的半径为 ,球心到平面 的距离为 ,

  则利用勾股定理可得 ,

  ∴ ,∴球的表面积为 .故选D.

  第Ⅱ卷

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

  13.【答案】

  【解析】 , ,

  ,故答案为 .

  14.【答案】60

  【解析】∵学校共有教师300人,其中中级教师有120人,

  ∴高级教师与初级教师的人数为 人,

  ∵抽取的样本中有中级教师72人,∴设样本人数为 ,则 ,解得 ,

  则抽取的高级教师与初级教师的人数为 ,

  ∵高级教师与初级教师的人数比为 .

  ∴该样本中的高级教师人数为 .故答案为60.

  15.【答案】

  【解析】∵实数 , 满足 ,对应的平面区域如图所示:

  则 表示可行域内的点 到 的两点的连线斜率的范围,

  由图可知 的取值范围为 .

  16.【答案】

  【解析】依题意, ;

  当 时, 是减函数, ,

  当 时, , 时单调递减, ,∴ ,∴ ;

  当 时, , 时单调递增, 显然不符合题意;

  综上所述,实数 的取值范围为 .

  三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.【答案】(1) ;(2) .

  【解析】(1)当 时, ;

  当 时, .

  当 时,也符合上式,故 .

  (2)∵ ,

  故 .

  18.【答案】(1) , , , ;(2)2,3,1;(3) .

  【解析】(1)由频率表中第4组数据可知,第4组总人数为 ,

  再结合频率分布直方图可知 ,

  ∴ , ,

  , ;

  (2)∵第2,3,4组回答正确的人数共有54人,

  ∴利用分层抽样在54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:

  第2组: 人;第3组: 人;第4组: 人,

  (3)设第2组2人为: , ;第3组3人为: , , ;第4组1人为: .

  则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为: , , , , , , , , , , , , , , 共15个基本事件,其中恰好没有第3组人共3个基本事件,

  ∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是 .

  19.【答案】(1)见解析;(2) .

  【解析】(1)证法一:连接 交 于 ,取 的中点 ,

  连接 ,则 是 的中位线,∴ .

  由已知得 ,∴ ,

  连接 ,则四边形 是平行四边形,∴ ,

  又∵ , ,∴ ,即 .

  证法二:延长 , 交于点 ,连接 ,则 ,

  由已知得 ,∴ 是 的中位线,∴ ,

  ∴ ,四边形 是平行四边形, ,

  又∵ , ,∴ .

  证法三:取 的中点 ,连接 , ,易得 ,

  即四边形 是平行四边形,则 ,

  又 , ,∴ ,

  又∵ ,∴四边形 是平行四边形,∴ ,

  又 是平行四边形,∴ ,∴ ,

  ∴四边形 是平行四边形,∴ ,

  又 , ,∴ ,

  又 ,∴面 ,又 ,∴ .

  (2)∵ ,∴ ,

  由已知得,四边形 为正方形,且边长为2,则在图2中, ,

  由已知 , ,可得 ,

  又 ,∴ ,

  又 , ,∴ ,且 ,∴ ,

  ∴ 是三棱锥 的高,四边形 是直角梯形.

  .

  20.【答案】(1) ;(2) .

  【解析】(1)设椭圆方程为 ,

  ∵ , ,∴ , ,

  所求椭圆方程为 .

  (2)由题得直线 的斜率存在,设直线 方程为 ,

  则由 得 ,且 .

  设 , ,则由 ,得 ,

  又 , ,

  ∴ , ,消去 解得 , ,

  ∴直线 的方程为 .

  21.【答案】(1) ;(2) .

  【解析】(1)∵ 函数的常数项为 ,∴ .

  当 时, ,∴ ,

  ∴当 时, , 单调递增;

  当 时, , 单调递减.

  ∴当 时, 有极大值,也为最大值,且 .

  (2)∵ , ,∴ ,

  ①若 ,则 , 在 上是增函数,

  ∴ ,不合题意.

  ②若 ,则当 时, , 单调递增;

  当 时, , 单调递减.

  ∴当 时,函数 有极大值,也为最大值,且 ,

  令 ,则 ,解得 ,符合题意.

  综上 .

  请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

  22.【答案】(1) 的参数方程为 ( 为参数);(2) .

  【解析】(1)∵ 的极坐标方程为 ,

  ∴ 的直角坐标方程为 ,即 ,

  ∴ 的参数方程为 ( 为参数).

  (2)∵直线 的参数方程为 ( 为参数),

  ∴直线 的普通方程为 ,∴圆心到直线 的距离 ,

  ∴直线 被 截得的弦长为 .

  23.【答案】(1) ;(2) .

  【解析】(1)∵ ,∴ 或 或 ,

  ∴ ,

  ∴不等式解集为 ;

  (2)∵ ,∴ ,

  又 , , ,∴ ,

  ∴ ,

  当且仅当 ,即 时取等号,

  ∴ .

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