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高三数学上册期末考试试卷

时间:2019-03-22

  数学是一个很多同学学习不好的一门科目,大家努力一点就可以了,小编今天下面就给大家整理高三数学,要好好阅读哦

  关于高三数学文上册期末试卷

  第一部分(选择题 共40分)

  一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

  (1)若集合 , ,则

  (A) (B) (C) (D)

  (2)下列复数为纯虚数的是

  (A) (B) (C) (D)

  (3)在平面直角坐标系 中,角 以 为始边,终边在射线 上,则 的值是

  (A) (B) (C) (D)

  (4)若 满足 则 的最小值为

  (A) (B) (C) (D)

  (5)执行如图所示的程序框图,输入 ,那么输出的

  值为

  (A) (B)

  (C) (D)

  (6)设 为实数,则“ ”是“ ”的

  (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

  (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

  (7)某三棱锥的三视图如图所示,在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度

  为

  (A)2 (B)

  (C) (D)3

  (8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量. 地震释放的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之

  间的关系为 . 已知两次地震里氏震级分别为8.0级和7.5级,若它们释放的能量分别为 和 ,则 的值所在的区间为

  (A) (B) (C) (D)

  第二部分(非选择题 共110分)

  二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

  ( 9 )已知向量 , ,若 ,则 .

  (10)在 中,已知 , , ,则 .

  (11)若等差数列 和等比数列 满足 , ,试写出一组满足条件的数列 和 的通项公式: , .

  (12)过双曲线 的右焦点 作垂直于 轴的直线,交双曲线于 两点, 为坐标原点,若 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率 _________.

  (13)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线,

  为了解自己记忆一组单词的情况,她记录了

  随后一个月的有关数据,绘制散点图,拟合

  了记忆保持量与时间(天)之间的函数关系:

  某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论:

  ① 随着时间的增加,小菲的单词记忆保持量降低;

  ② 9天后,小菲的单词记忆保持量低于 ;

  ③ 26天后,小菲的单词记忆保持量不足 .

  其中正确的结论序号有 . (注:请写出所有正确结论的序号)

  (14)已知函数 , .若 ,都有 ,则a的最大值为______;此时ω=_______.

  三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

  (15)(本小题13分)

  已知等差数列 满足

  D D 的通项公式;

  (Ⅱ) 若 ,求数列 的前n项和.

  (16)(本小题13分)

  已知函数 .

  (Ⅰ) 求 的最小正周期;

  (Ⅱ) 求证:对于任意的 ,都有 .

  (17)(本小题13分)

  某中学有学生500人,学校为了解学生课外阅读时间,从中随机抽取了50名学生,收集了他们2018年10月课外阅读时间(单位:小时)的数据,并将数据进行整理,分为5组: , , , , ,得到如图所示的频率分布直方图.

  (Ⅰ)试估计该校所有学生中,2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数;

  (Ⅱ)已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在 ,现从课外阅读时间在 的样

  本对应的学生中随机抽取2人,求至少抽到1名女生的概率;

  (Ⅲ)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,试估计该校学生2018年10月课外阅读时间

  的平均数.

  (18)(本小题14分)

  如图,三棱柱 中,侧棱垂直于底面, , , , 为 中点.

  (I) 求证: 平面 ;

  (II) 求三棱锥 的体积;

  (III) 设平面 与直线 交于点 ,求线段 的长.

  (19)(本小题13分)

  已知函数 ,a∈R.

  (Ⅰ) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程;

  (Ⅱ) 求 的单调区间.

  (20)(本小题14分)

  已知椭圆 的离心率为 ,其左焦点为 .直线 交椭圆 于不同的两点 ,直线 与椭圆 的另一个交点为 .

  (I)求椭圆 的方程;

  (II)当 时,求 的面积;

  (III)证明:直线 与 轴垂直.

  高三数学(文科)参考答案及评分标准

  一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)

  (1)C (2)D (3)A (4)B

  (5)B (6)A (7)D (8)B

  二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)

  (9) (10)

  (11) , (答案不唯一) (12)

  (13)①② (14)4,

  三、解答题(共6小题,共80分)

  (15)(共13分)

  解:(I)设 的公差为 ,

  因为 , 所以 .

  所以

  解得 .

  所以 ……………………………..7分

  (Ⅱ)由(I)知, ,

  所以 的前n项和为

  =

  = . ……………………..13分

  (16)(共13分)

  解:(Ⅰ)

  . ……………………………..5分

  所以 的最小正周期 . ……………………………..7分

  (Ⅱ)因为 ,所以 .

  所以 .

  所以

  所以 .

  所以对于任意的 ,都有 . ……………………………..13分

  (17)(共13分)

  解:(Ⅰ) ,

  即课外阅读时间不小于 小时的样本的频率为 .

  因为 ,

  所以估计该校所有学生中,2018年10月课外阅读时间不小于 小时的学生人数为

  . …………………………………………………………………………………………….5分

  (Ⅱ)阅读时间在 的样本的频率为 .

  因为 ,即课外阅读时间在 的样本对应的学生人数为 .

  这 名学生中有 名女生, 名男生,设女生为 , ,男生为 , , ,

  从中抽取 人的所有可能结果是:

  , , , , ,

  , , , , .

  其中至少抽到 名女生的结果有 个,

  所以从课外阅读时间在 的样本对应的学生中随机抽取 人,至少抽到 名女生的所求概率为 . ……………………………..11分

  (Ⅲ)根据题意, (小时).

  由此估计该校学生 年10月课外阅读时间的平均数为 小时 …………….13分

  (18)(共14分)

  解:(Ⅰ)因为三棱柱 中,侧棱垂直于底面,

  所以 平面 .

  因为 平面 ,

  所以 .

  又因为 , ,

  所以 平面 .

  因为 平面 ,

  所以 .

  因为 ,所以四边形 为菱形.

  所以 .

  因为 ,

  所以 平面 . ……………………………..5分

  (Ⅱ) 由已知, 平面 , 平面 ,

  所以 .

  因为 , ,

  所以 平面 .

  又 ,故 到平面 的距离为 .

  因为 为 中点,所以 点到平面 距离为 .

  所以 .……..9分

  (Ⅲ)在三棱柱 中,

  因为 , 为平面 与平面 的公共点,

  所以平面 平面 .

  因为平面 平面 , 平面 ,

  所以 平面 .

  又平面 平面 ,

  所以 .

  又 ,所以 .

  因为 为 中点, 所以 为 中点 .

  所以 .………………………..14分

  (19)(共13分)

  解:(Ⅰ) 的定义域为 ,

  .

  当 时, , ,

  所以曲线 在点 处的切线方程为 .………………………..7分

  (Ⅱ) .

  (1) 当 时, ,

  所以当 时, ;当 时, .

  所以 的单调递增区间为(–∞,–1),单调递减区间为(–1,+∞).

  (2) 当 时,令 ,得 , .

  ①当 ,即 时, ,

  所以 的单调递增区间为(–∞,+∞),无单调递减区间;

  ②当 ,即 时,

  当 时, ;当 时, .

  所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , ;

  ③当 ,即 时,

  当 时, ;当 时, .

  所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , . …………………………………………………………………………………………13分

  (20)(共14分)

  解:(I) 由已知有 解得

  所以椭圆 的方程为 . ……………………………………5分

  (II)由 消去 ,整理得 .

  由已知, ,解得 .

  设 ,则

  直线 的方程为 , 到直线 的距离 .

  所以 的面积为 . …………………………………10分

  (III)当 时, .

  此时直线 的斜率为 ,由(II)知不符合题意,所以 .

  设直线 的斜率为 .

  则直线 的方程为 .

  由 消去 ,整理得 .

  设 ,则有 .

  由 得 ,代入上式整理得 ,

  解得 .

  因为 ,

  将 , 代入,整理得 ,

  所以 . 所以直线 与 轴垂直. ……………………………………14分

  高三数学理上册期末试卷参考

  第一部分 (选择题 共40分)

  一、 选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

  1.已知集合 , ,那么

  (A)

  (B)

  (C)

  (D)

  2.若复数 的实部与虚部互为相反数,则实数

  (A)3 (B)

  (C)

  (D)

  3.执行如图所示的程序框图,输出的 的值为

  (A)

  (B)

  (C)

  (D)

  4.已知等差数列 中, , .

  若 ,则数列 的前5项和等于

  (A)30 (B)45

  (C)90 (D)186

  5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的

  棱中,最长的棱的长度为

  (A)2 (B)

  6.设 , 是非零向量,则“ ”是“ ”的

  (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

  (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

  7.一种画双曲线的工具如图所示,长杆 通过 处的铰链与固定好的短杆 连接,取一条定长的细绳,一端固定在点 ,另一端固定在点 ,套上铅笔(如图所示).作图时,使铅笔紧贴长杆 ,拉紧绳子,移动笔尖 (长杆 绕 转动),画出的曲线即为双曲线的一部分.若 , ,细绳长为8,则所得双曲线的离心率为

  (A)

  (B)

  (C)

  (D)

  8.如图,在棱长为2的正方体 中, 分

  别是棱 的中点, 是底面 内一动点,若直线

  与平面 不存在公共点,则三角形 的面积的最小值

  为

  (A)

  (B)1

  (C)

  (D)

  第二部分(非选择题 共110分)

  二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

  9.在极坐标系中,圆C: 的圆心到点 的距离为____.

  10. 展开式中 的系数为____.

  11.能够说明“设 是任意非零实数.若 ,则 ”是假命题的一组整数 的值依次为____.

  12.若 满足 则 的最大值为____.

  13.动点 在圆 上沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间 时,点 的坐标是 ,则当 时,动点 的纵坐标 关于 (单位:秒)的函数的值域为____.

  14.已知函数

  ① 若 ,则函数 的零点有____个;

  ② 若存在实数 ,使得函数 总有三个不同的零点,则实数 的取值范围是____.

  三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

  15.(本小题13分)

  在 中,角 的对边分别为 , , , .

  (Ⅰ)求 的值;

  (Ⅱ)求 的面积.

  16.(本小题14分)

  如图,在四棱锥 中,底面 为正方形,侧棱 底面 , 为棱 的中点, .

  (Ⅰ)求证: ;

  (Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;

  (Ⅲ)求二面角 的余弦值.

  17.(本小题13分)

  2018年11月5日上午,首届中国国际进口博览会拉开大幕,这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区,每个展区统计了备受关注百分比,如下表:

  展区类型 智能及高端装备 消费电子及家电 汽车 服装服饰及日用消费品 食品及农产品 医疗器械及医药保健 服务贸易

  展区的企业数(家) 400 60 70 650 1670 300 450

  备受关注百分比 25% 20% 10% 23% 18% 8% 24%

  备受关注百分比指:一个展区中受到所有相关人士关注(简称备受关注)的企业数与该展区的企业数的比值.

  (Ⅰ)从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家,求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率;

  (Ⅱ)从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中,任选2家接受记者采访.

  (i)记 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数,求随机变量 的分布列;

  (ii)假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10%.记 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量 的均值 和 的大小.(只需写出结论)

  18.(本小题14分)

  已知椭圆C: 的右焦点为 ,离心率为 ,直线 与椭圆C交于不同两点 ,直线 分别交 轴于 两点.

  (Ⅰ)求椭圆C的方程;

  (Ⅱ)求证: .

  19.(本小题13分)

  设函数 .

  (Ⅰ)当 时,求证: ;

  (Ⅱ)如果 恒成立,求实数 的最小值.

  20.(本小题13分)

  将 阶数阵 记作 (其中,当且仅当 时, ).如果对于任意的 ,当 时,都有 ,那么称数阵 具有性质 .

  (Ⅰ)写出一个具有性质 的数阵 ,满足以下三个条件:① ,②数列 是公差为2的等差数列,③数列 是公比为 的等比数列;

  (Ⅱ)将一个具有性质A的数阵 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的 阶数阵,记作数阵 .试判断数阵 是否具有性质A,并说明理由.

  高三数学(理科)参考答案及评分参考

  一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8

  答案 B D B C D A D C

  二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分。有两空的小题,第一空3分,第二空2分)

  9. 10. 11. 满足 且 即可

  12.1 13. 14.2; 且

  三、解答题(共6小题,共80分)

  15.(共13分)

  解:(Ⅰ)在△ 中,因为 , , ,

  由余弦定理 , ……………….2分

  可得 , ……………….4分

  所以 ,或 (舍). ……………….6分

  (Ⅱ)因为 ,

  所以 .

  所以 的面积 . …………….13分

  16.(共14分)

  解:(Ⅰ)因为 底面 , 底面 ,

  所以 ,

  正方形 中 ,

  又因为 ,

  所以 平面 ,

  因为 平面 ,

  所以 . …………….4分

  (Ⅱ)正方形 中 ,侧棱 底面 .

  如图建立空间直角坐标系 ,不妨设 .

  依题意,则 ,

  所以 .

  设平面 的法向量 ,

  因为 ,

  所以 .

  令 ,得 ,即 ,

  所以 ,

  所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ; ………………11分

  (Ⅲ)由(Ⅰ)知 平面 ,所以 为平面 的法向量,

  因为 , 且二面角 为锐角,

  所以二面角 的余弦值为 . …………………14分

  17.(共13分)

  解:(Ⅰ)7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家,

  其中备受关注的智能及高端装备企业共 家,

  设从各展区随机选1家企业,这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A,

  所以 . ………………4分

  (Ⅱ)消费电子及家电备受关注的企业有 家,

  医疗器械及医药保健备受关注的企业有 家,共36家.

  的可能取值为0,1,2.

  所以随机变量 的分布列为:

  0 1 2

  ………………11分

  (Ⅲ) ………………13分

  18.(共14分)

  解:(Ⅰ)由题意得 解得

  所以椭圆C的方程为 ………………5分

  (Ⅱ)设 .

  由 得

  依题意 ,即 .

  则 ………………8分

  因为

  .

  所以直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补,即 .

  因为 ,所以 . …………………14分

  19.(共13分)

  解:(Ⅰ)因为 ,所以 .

  当 时, 恒成立,

  所以 在区间 上单调递增,

  所以 . . .. …… …….5分

  (Ⅱ)因为 ,

  所以 .

  ①当 时,由(Ⅰ)知, 对 恒成立;

  ②当 时,因为 ,所以 .

  因此 在区间 上单调递增,

  所以 对 恒成立;

  ③当 时,令 ,则 ,

  因为 ,所以 恒成立,

  因此 在区间 上单调递增,

  且 ,

  所以存在唯一 使得 ,即 .

  所以任意 时, ,所以 在 上单调递减.

  所以 ,不合题意. . .. …… …….12分

  综上可知, 的最小值为1. . .. …… …….13分

  20.(共13分)

  解:(Ⅰ) (答案不唯一). . .. …… …….4分

  (Ⅱ)数阵 具有性质A.

  只需证明,对于任意的 ,都有 ,其中 .

  下面用反证明法证明:

  假设存在 ,则 都大于 ,即在第 列中,至少有 个数大于 ,且 .

  根据题意,对于每一个 ,都至少存在一个 ,使得 ,即在第 列中,至少有 个数小于 .

  所以,第 列中至少有 个数,这与第 列中只有 个数矛盾.

  所以假设不成立.

  所以数阵 具有性质A. . .. …… …….13分

  高三数学上学期期末试卷带答案

  第一部分 (选择题 共40分)

  一、 选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

  1.已知集合 , ,那么

  (A)

  (B)

  (C)

  (D)

  2.复数 在复平面内对应的点位于

  (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

  3.执行如图所示的程序框图,输出的 的值为

  (A)

  (B)

  (C)

  (D)

  4.若 满足 则 的最大值是

  (A)

  (B)

  (C)1 (D)4

  5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的

  棱中,最长的棱的长度为

  (A)2

  (B)

  (C)

  (D)

  6.设 是非零向量,则“ ”是“ ”的

  (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

  (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

  7.已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合,且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6,那么该椭圆的离心率为

  (A)

  (B)

  (C)

  (D)

  8.如图,在平面直角坐标系 中, 是正六边形

  的中心,若 ,则点 的纵坐标

  为

  (A)

  (B)

  (C)

  (D)

  第二部分(非选择题 共110分)

  二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

  9.已知函数 的图象过点 ,那么 ____.

  10.在△ 中,角 的对边分别为 .若 ,且 ,则 ____.

  11.能够说明“设 是任意非零实数.若 ,则 ”是假命题的一组整数 的值依次为____.

  12.已知双曲线 的一个焦点是 ,那么双曲线 的渐近线方程为____.

  13.已知两点 , ,动点 满足 .若 为直线 上一动点,则 的最小值为____.

  14.已知函数

  ① 若 ,则函数 的零点有____个;

  ② 若 对任意的实数x都成立,则实数 的取值范围是____.

  三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

  15.(本小题13分)

  已知函数 .

  (Ⅰ)求 的值;

  (Ⅱ)求证:当 时, .

  16.(本小题13分)

  已知等差数列 和等比数列 满足 , .

  (Ⅰ)求数列 的通项公式;

  (Ⅱ)求和: .

  17.(本小题14分)

  如图,在四棱柱 中,底面 为正方形,侧棱 底面 , 为棱 的中点, , .

  (Ⅰ)求证: 平面 ;

  (Ⅱ)求证: ;

  (Ⅲ)求三棱锥 的体积.

  18.(本小题13分)

  2018年11月5日上午,首届中国国际进口博览会拉开大幕,这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区,每个展区统计了备受关注百分比,如下表:

  展区类型 智能及高端装备 消费电子及家电 汽车 服装服饰及日用消费品 食品及农产品 医疗器械及医药保健 服务贸易

  展区的企业数(家) 400 60 70 650 1670 300 450

  备受关注百分比 25% 20% 10% 23% 18% 8% 24%

  备受关注百分比指:一个展区中受到所有相关人士关注(简称备受关注)的企业数与该展区的企业数的比值.

  (Ⅰ)从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家,求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率;

  (Ⅱ)某电视台采用分层抽样的方法,在“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中抽取6家进行了采访,若从受访企业中随机抽取2家进行产品展示,求恰有1家来自于“医疗器械及医药保健”展区的概率.

  19.(本小题14分)

  已知椭圆C: 的右焦点为 ,离心率为 ,直线 与椭圆C交于不同两点 .

  (Ⅰ)求椭圆C的方程;

  (Ⅱ)求证:直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补.

  20.(本小题13分)

  已知函数 .

  (Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;

  (Ⅱ)求证:当 时, .

  (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

  高三数学(文科)参考答案及评分参考 2019.01

  一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8

  答案 B A B D D A D C

  二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分。有两空的小题,第一空3分,第二空2分)

  9. 10. 11.满足 且 即可

  12. 13. 14.2;

  三、解答题(共6小题,共80分)

  15.(共13分)

  解:(Ⅰ)因为

  所以 . ……………….6分

  (Ⅱ)证明:因为 ,

  所以 .

  当 时,

  即 时, 取得最小值 .

  所以当 时, . ……………….13分

  16.(共13分)

  解:(Ⅰ)因为 ……………….2分

  所以 ……………….4分

  从而 . ………………6分

  (Ⅱ)因为 ………………8分

  所以 ………………10分

  所以 , ………………11分

  所以 . ………………13分

  17.(共14分)

  解:(Ⅰ)设 , 连接 ,

  因为 中, , 分别为 , 的中点,

  所以 为 的中位线,即 , ………………2分

  因为 平面 , 平面 ,

  所以 平面 . ………………4分

  (Ⅱ)因为 侧棱 底面 , 底面 ,

  所以 , ………………5分

  因为 底面 为正方形,

  所以 , ………………6分

  因为 ,

  所以 平面 , ……………… 8分

  因为 平面 ,

  所以 . ………………10分

  (Ⅲ)因为 侧棱 底面 于 , 为棱 的中点,

  所以 为三棱锥 的高.

  因为 ,

  所以 .

  因为 ,

  所以 .

  所以 , ………………14分

  18.(共13分)

  解:(Ⅰ)7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家,

  其中备受关注的智能及高端装备企业共 家,

  设从各展区随机选1家企业,这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A,

  所以 . ………………5分

  (Ⅱ)消费电子及家电展区备受关注的企业有 家,医疗器械及医药保健展区备受关注的企业有 家,共36家.

  所以抽取的6家企业中,来自消费电子及家电展区企业有 家,记为 , ;来自医疗器械及医药保健展区企业有 家,记为 , , , .

  抽取两家进行产品展示的企业所有可能为:

  , , , , , , , , , , , , , , 共15种;

  其中满足恰有1家来自于医疗器械及医药保健展区的有 , , , , , , , ,共8种;

  设恰有1家来自于医疗器械及医药保健展区为事件 ,

  所以 . ………………13分

  19.(共14分)

  解:(Ⅰ)由题意得 解得

  所以椭圆C的方程为 …………………5分

  (Ⅱ)设 .

  由 得

  依题意 ,即 .

  则 …………………8分

  当 或 时,得 ,不符合题意.

  因为

  .

  所以直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补. …………………14分

  20.(共13分)

  解:(Ⅰ)因为 .

  所以 , ,

  所以曲线 在点 处的切线方程 .

  整理得: ………………5分

  (Ⅱ)先证 .

  因为 , ,

  所以 .

  所以函数 在 上单调递增,

  所以 ,

  即 .① ………………8分

  再证 .

  设 ,

  则 ,

  设 ,

  则 ,由①可知 ,

  所以 在 上单调递减, .

  所以 时, .

  所以 在 上单调递减, .

  即 .②

  综合①②可知:当 时, . ………………13分

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