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理科高二年级数学期中考试题

时间:2019-03-26 阅读:

  我们从一分科开始我们的数学就文科理科不一样的了,今天小编就给大家来分享一下高二数学,就给大家来多多阅读一下哦

  高二数学下学期期中试题理科

  第Ⅰ卷(选择题,共60分)

  一、选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

  1.极坐标方程(ρ-1)•( )=0(ρ 0)表示的图形是( )

  (A)两个圆 (B)两条直线(C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线

  2.将曲线y=sin 2x按照伸缩变换x′=2xy′=3y后得到的曲线方程为(  )

  A.y=3sin x   B.y=3sin 2x C.y=3sin12x D.y=13sin 2x

  3. 若复数 ( 为虚数单位)是纯虚数,则实数 的值为( )

  A. B. C. D.

  4.六把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )

  A.144 B.120 C.72 D.24

  5.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从中随机地抽取4只,那么 为(  )

  A.恰有1只坏的概率 B.恰有2只好的概率

  C.4只全是好的概率 D.至多2只坏的概率

  6. 某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,设X表示击中目标的次数,则 等于(  )

  A. B. C. D.

  7.设 ,则 等于(  )

  A.1.6 B.3.2 C.6.4 D.12.8

  8.设随机变量X的分布列如下表,且 ,则 (  )

  0 1 2 3

  0.1 0.1

  A.0.2 B.0.1 C. D.

  9. 已知 、 取值如下表:

  0 1 4 5 6

  1.3

  5.6 7.4

  画散点图分析可知: 与 线性相关,且求得回归方程为 ,则 的值(精确到0.1)为( ) A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8

  10.如果随机变量ξ~N(-1,σ2),且P(-3≤ξ≤-1)=0.4,则P(ξ≥1)=( )

  A.0.2  B .0.3  C.0.4  D.0.1

  11. 用 数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n2n2+13时,从n=k到n=k+1时,等式左边应添加的式子是(  )

  A.(k-1)2+2k2 B.(k+1)2+k2 C.(k+1)2 D.13(k+1)[2(k+1)2+1]

  12.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表:

  晚上 白天 合计

  男婴 24 31 55

  女婴 8 26 34

  合计 32 57 89

  你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为 (  )

  A.80% B.90% C.95% D.99%

  参考公式及数据:

  P( )

  0.25 0.15 0.1 0 0.05 0.025

  k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

  第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

  二、填空题:(把答案填在答题纸对应的横线上,每小题5分,共20分。)

  13.已知x,y∈R,且x+y<2,则x,y中至多有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为________.

  14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,________,________,T16T12成等比数列.

  15. 有4名优秀学生 , , , 全部被保送到甲,乙,丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有 种.

  16.设(2x-1)6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a6|=________.

  三、解答题:本大题6个题,共70分。解答应写出文字说明及演算步骤

  17. (本小题满分10分)

  已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.

  (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;

  (2)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的极坐标方程.

  18.(本题满分12分)

  抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6),

  求:(1)连续抛掷2次,求向上的数不同的概率;

  (2)连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率;

  (3)连续抛掷5次,求恰好出现3次向上的数为奇数的概率.

  19.(本题满分12分)

  某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:

  ①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;

  ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;

  ③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;

  ④sin2(-18°)+cos248°-si n(-18°)cos 48°;

  ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.

  (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

  (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

  20.(本题满分12分)

  设f(x)=(1+x)m+(1+x)n展开式中x的系数是19(m,n∈N+).

  (1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值;

  (2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时,求f(x)展开式中x7的系数.

  21.(本题满分12分)

  一盒中有12个乒乓球,其中9个新的, 3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,求X的分布列及数学期望.

  22.(本题满分12分)

  某种项目的射击比赛,开始时在距目标100m处射击,如果命中记3分,且停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第 二次射击,但目标已在150m处,这时命中记2分,且停止射击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已在200m处,若第三次命中则记1分,并停止射击;若三次都未命中,则记0分.已知射手甲在100m处击中目标的概率为 ,他的命中率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立的.

  (1)求这位射手在三次射击中命中目标的概率;

  (2)求这位射手在这次射击比赛中得分的均值.

  高二年级理科数学试题

  答案 1-12 CAADB ACCCD BB 13.x,y都大于1 14. T8T4 T12T8 15.36

  16.解析 由(2x-1)6=C06(2x)6+C16(2x)5•(-1)+…+C66(-1)6,

  可知x6,x5,…,x0的系数正、负相间,且|a0|+|a1|+…+|a6|

  =a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.令x=-1,有a6x6+a5x5+…+a1x+a0

  =a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-3)6=36.答案 36

  17.以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.

  (1)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2=4x.

  即x2+y2-4x=0为⊙O1的直角坐 标方程,同理x2+y2+4y=0为⊙O2的直角坐标方程.

  (2)由x2+y2-4x=0,x2+y2+4y=0,解得x1=0,y1=0,x2=2,y2=-2.

  即⊙O1,⊙O2交于点(0,0)和(2,-2),故过交点的直线的极坐标方程为θ=1350 (ρ属于R)

  18.解:(1)设A表示事件“抛掷2次,向上的数不同”,则P(A)=6×56×6=56.

  (2)设B表示事件“抛掷2次,向上的数之和为6”.

  ∵向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5种,∴P(B)=56×6=536.

  (3)设C表示事件“抛掷5次,恰好出现3次向上的数为奇数”.∴P(C)=C35362363=516.

  19. 法一 (1)选择②式,计算如下:

  sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-12sin 30°=1-14=34.

  (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(3 0°-α)=34.

  证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)

  =sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)

  =sin2α+34cos2α+32sin αcos α+14sin2α-32sin αcos α-12sin2α=34sin2α+34cos2α=34.

  法二 (1)同法一.

  (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.

  证明如下:sin2α+cos2( 30°-α)-sin αcos(30°-α)

  =1-cos 2α2+1+cos60°-2α2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)

  =12-12cos 2α+12+12(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-32sin αcos α-12sin2α

  =12-12cos 2α+12+14cos 2α+34sin 2α-34sin 2α-14(1-cos 2α)=1-14cos 2α-14+14cos 2α=34.

  20解:(1)由题设条件,得m+n=19.∴m=19-n,x2的系数为C2m+C2n=C219-n+C2n=19-n18-n2+nn-12=n2-19n+171=n-19 2 2+3234,∵n∈N+.[]∴当n=9或n=10时,x2的系数取最小值1 2 2+3234=81.

  (2)当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2的系数取最小值,此时x7的系数为C710+C79=C310+C29=156.

  21解 :由题意知旧球个数X的所有可能取值为3,4,5,6.

  则P(X=3)=C33C312=1220 ,P(X=4)=C23•C19C312=27220,P(X=5)=C29•C13C312=108220=2755,

  P(X=6)=C39C312=84220=2155.故X的分布列为

  X 3 4 5 6

  p 1220

  27220

  2755

  2155

  Ex=214

  22.解:记第一、二、三次射击命中目标分别为事件 ,三次都未击中目标为事件D,依题意 ,设在 m处击中目标的概率为 ,则 ,且 ,

  ,即 , , , .

  (1) 由于各次射击都是相互独立的,

  ∴该射手在三次射击中击中目标的概率

  .

  (2)依题意,设射手甲得分为X,则 ,

  , , ,

  .

  高二年级理科数学答案

  1-12 CAADB ACCCD BB 13.x,y都大于1 14. T4(T8) T8(T12) 15.36

  16.解析 由(2x-1)6=C6(0)(2x)6+C6(1)(2x)5•(-1)+…+C6(6)(-1)6,

  可知x6,x5,…,x0的系数正、负相间,且|a0|+|a1|+…+|a6|

  =a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.令x=-1,有a6x6+a5x5+…+a1x+a0

  =a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-3)6=36.答案 36

  17.以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.

  (1)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2=4x.

  即x2+y2-4x=0为⊙O1的直角坐标方程,同理x2+y2+4y=0为⊙O2的直角坐标方程.

  (2)由x2+y2+4y=0,(x2+y2-4x=0,)解得y1=0,(x1=0,)y2=-2.(x2=2,)

  即⊙O1,⊙O2交于点(0,0)和(2,-2),故过交点的直线的极坐标方程为θ=1350 (ρ属于 R)

  18.解:(1)设A表示事件“抛掷2次,向上的数不同”,则P(A)=6×6(6×5)=6(5).

  (2)设B表示事件“抛掷2次,向上的数之和为6”.

  ∵向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5种,∴P(B)=6×6(5)=36(5).

  (3)设C表示事件“抛掷5次,恰好出现3次向上的数为奇数”.∴P(C)=C5(3)6(3)6(3)=16(5).

  19. 法一 (1)选择②式,计算如下:

  sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-2(1)sin 30°=1-4(1)=4(3).

  (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=4(3).

  证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-si n αcos(30°-α)

  =sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α )

  =sin2α+4(3)cos2α+2(3)sin αcos α+4(1)sin2α-2(3)sin αcos α-2(1)sin2α=4(3)sin2α+4(3) cos2α=4(3) .

  法二 (1)同法一.

  (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=4(3).

  证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)

  =2(1-cos 2α)+2(1+cos(60°-2α)-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)

  =2(1)-2(1)cos 2α+2(1)+2(1)(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-2(3)sin αcos α-2(1)sin2α

  =2(1)-2(1)cos 2α+2(1)+4(1)cos 2α+4(3)sin 2α-4(3)sin 2α-4(1)(1-cos 2α)=1-4(1)cos 2α-4(1)+4(1)cos 2α=4(3).

  20解:(1)由题设条件,得m+n=19.∴m=19-n,x2的系数为Cm(2)+Cn(2)=C19-n(2)+Cn(2)=2((19-n(18-n)+2(n(n-1)=n2-19n+171= 2 (19 )2+4(323),∵n∈N+.[]∴当n=9或n=10时,x2的系数取最小值 2 (1 )2+4(323)=81.

  (2)当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2的系数取最小值,此时x7的系数为C10(7)+C9(7)=C10(3)+C9(2)=156.

  21解 :由题意知旧球个数X的所有可能取值为3,4,5,6.

  则P(X=3)=3(3)12(3)12(3)=220(1) ,P(X=4)=3(2)9(1)12(3)12(3)=220(27),P(X=5)=9(2)3(1)12(3)12(3)=220(108)=55(27),

  P(X=6)=9(3)12(3)12(3)=220(84)=55(21).故X的分布列为

  X 3 4 5 6

  p 220(1)

  220(27)

  55(27)

  55(21)

  Ex=214

  22.解:记第一、二、三次射击命中目标分别为事件 ,三次都未击中目标为事件D,依题意 ,设在 m处击中目标的概率为 ,则 ,且 ,

  ,即 , , , .

  (1) 由于各次射击都是相互独立的,

  ∴该射手在三次射击中击中目标的概率

  .

  (2)依题意,设射手甲得分为X,则 ,

  , , ,

  高二下学期数学(理)期中试卷

  第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

  一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,

  只有一个是符合题目要求的)

  → → → →

  1.三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B等于( )

  A.a+b-c B.a-b+c

  C.-a+b+c D.-a+b-c

  2.函数 f ( x)  sin x  ex ,则 f '(0)

  的值为( )

  第 1 题图

  A.1 B.2 C.3 D.0

  3. 已知 m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n⊂α,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α

  x

  4.函数 f ( x)  的单调递减区间是( )

  ln x

  A. (0, e)

  B. (e,)

  C. (0,1), (1, e)

  D. (, e)

  5.在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是

  CC1 、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于( )

  A. 15 B. 10 C. 4 D. 2

  5 5 5 3

  -π,π

  6.已知函数 f(x)=x-sin x,若 x1,x2∈

  2 2 ,且 f(x1)+f(x2)>0,则下列不等

  式中正确的是( )

  A.x1>x2 B.x1

  C.x1+x2>0 D.x1+x2<0

  7. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3, 则正视图中的 x 的值是( )

  A. 3 B. 9

  2

  C.3 D.2

  2

  第 7 题图

  8.若对任意的 x>0,恒有 lnx≤px-1(p>0),则 p 的取值范围是( )

  A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0,1) D.[1,+∞)

  9.甲、乙两人约定在下午 4:30  5:00 间在某地相见,且他们在 4:30  5:00 之间 到达的时刻是等可能的,约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟,若另一人

  仍不到则可以离去,则这两人能相见的概率是( )

  3 8

  A. B.

  4 9

  7 11

  C. D.

  16 12

  10.如图在一个 60 的二面角的棱上有两个点 A,B,线段分别 AC、BD 在这个二面 角的两个面内,并且都垂直于棱 AB,且 AB=AC= a ,BD= 2a ,则 CD 的长为

  ( ) C

  A. 2a B. 5a A B

  C. a D. 3a D

  11.已知函数 f ( x)  ax3  bx2  cx  d 的图象如图所示,则

  b  1 的取值范围是( )

  a  1

  第 10 题图

  y

  A. ( 3 , 1 )

  B. ( 2 ,1) 1 2

  2 2 5

  -1 0 x

  C. ( 1 , 3 )

  D. ( 3 ,1)

  2 2 2

  第 11 题图

  x 2 y 2

  12.已知 F1 , F2 分别为双曲线C : 

  a 2 b 2

   1 的左、右焦点, 若存在过 F1 的直分别交

  双曲线C 的左、右支于 A , B 两点,使得 BAF2  BF2 F1 ,则双曲线C 的离心率e 的 取值范围是( )

  A. 3,

  B. 1,2  5 

  C. 3,2  5 

  D. 1,3

  第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)

  二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

  13. 1 x2dx = .

  0

  第 12 题图

  2 2

  2 2

  14.已知椭圆 C1 : 2  2

  a b

   1(a  b  0) 与双曲线 C2 : x  y

   4 有相同的右焦点

  F2 ,点 P 是 C1 和 C2 的一个公共点,若 PF2

   2 ,则椭圆 C1 的离心率等于 .

  15.四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面为平行四边形,以顶点 A 为端点的三条棱长都

  相等,且两两夹角为 60°.则线段 AC1 与平面 ABC 所成角的正弦值为 .

  mex

  16.已知函数 f  x   1 

  x2  x  1

  ,若存在唯一的正整数 x0 ,使得 f  x0   0 ,则

  实数 m 的取值范围为 .

  三、解答题(本大题共 6 小题,第 17 题满分 10 分,18-22 每题满分 12 分,共 70 分; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

  17.如图,在直三棱柱 ABC  A1B1C1 中, AC  BC ,点 D 是 AB 的中点,求证:

  (Ⅰ) AC  BC1 ;

  (Ⅱ) AC1 // 平面 B1CD .

  18.某校举行汉字听写比赛,为了了解本次比赛成绩情况,从得分不低于 50 分的试

  卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数,满分 100 分)进行统计,请根据频率 分布表中所提供的数据,解答下列问题:

  组号 分组 频数 频率

  第 1 组 [50,60) 5 0.05

  第 2 组 [60,70) a 0.35

  第 3 组 [70,80) 30 b

  第 4 组 [80,90) 20 0.20

  第 5 组 [90,100] 10 0.10

  合计 100 1.00

  (Ⅰ)求 a、b 的值;

  (Ⅱ)若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字听 写比赛,并从中选出 2 人做种子选手,求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的概率.

  19.已知函数 f(x)=x2+2aln x.

  (Ⅰ)若函数 f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为 1,求实数 a 的值;

  (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间;

  2

  (Ⅲ)若函数 g(x)=

  +f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围.

  x

  20.在四棱锥 P -

  ABCD 中,△ PAB 为正三角形,四边形 ABCD 为矩形,平面

  PAB  平面 ABCD , AB =

  2 AD , M ,N 分别为 PB,PC 的中点.

  (Ⅰ)求证: MN //平面 PAD ;

  (Ⅱ)求二面角 B—AM—C 的大小;

  (Ⅲ)在 BC 上是否存在点 E ,使得 EN ⊥平面 AMN ?

  BE

  若存在,求

  BC

  的值;若不存在,请说明理由.

  21.已知椭圆 C : x y

   1 a  b  0  经过点 P(1, 3 ) ,离心率 e  3

  a b

  (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

  2 2 .

  (Ⅱ)设过点 E 0 ,  2  的直线l 与C 相交于 P, Q 两点,求 OPQ 面积的最大值.

  22.已知 f ( x)  1 x2 , g ( x)  a ln x(a  0) .

  2

  (Ⅰ)求函数 F ( x) 

  (Ⅱ)若函数 G( x) 

  取值范围;

  f ( x) g ( x) 的极值;

  f ( x)  g ( x)  (a  1) x 在区间 (1 , e) 内有两个零点,求的

  e

  (Ⅲ)函数 h( x)  g  x   x  1 ,设 x  (0,1) , x  (1, ) ,若 h( x )  h( x )

  x 1 2 2 1

  存在最大值,记为 M (a) ,则当 a  e  1 时,M (a) 是否存在最大值?若存在,求出

  e

  其最大值;若不存在,请说明理由.

  数学(理科)参考答案及评分建议

  一、 选择题:(每小题5分,共60分)

  1.D; 2.B; 3.B; 4.C; 5.A; 6.C;

  7.A; 8.D; 9.B; 10.A; 11.D; 12.C;

  二、 填空题(每小题5分,共20分)

  13. ; 14. ; 15 . ; 16 . ;

  三、 解答题(共70分)

  17.证明:(1)在直三棱柱 中, 平面 ,

  所以, ,

  又 , ,

  所以, 平面 ,

  所以, . ………..………(5分)

  (2)设 与 的交点为 ,连结 ,

  为平行四边形,所以 为 中点,又 是 的中点,

  所以 是三角形 的中位线, ,

  又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 .………(10分)

  18.(1)a=100-5-30-20-10=35,b=1-0.05-0.35-0.20-0.10=0.30. ………(4分)

  (2)因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为,第3组:660×30=3人,第4组:660×20=2人,第5组:660×10=1人,所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人.……..………(6分)

  设第3组的3位同学为A1、A2、A3,第4组的2位同学为B1、B2,第5组的1位同学为C1,则从6位同学中抽2位同学有15种可能,如下:

  (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1).其中第4组被入选的有9种,所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为915=35.……………(12分)

  19.  (1)f′(x)=2x+2ax=2x2+2ax,

  由已知f′(2)=1,解得a=-3. ……… 4分

  (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞). ……… 5分

  ①当a≥0时,f′(x)>0,

  f(x)的单调递增区间为(0,+∞); ……… 6分

  ②当a<0时,f′(x)=2(x+-a)x--ax.

  当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:

  x (0,-a)

  -a

  (-a,+∞)

  f′(x) - 0 +

  f(x) ?

  极小值 ?

  由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,-a);

  单调递增区间是(-a,+∞). ……… 8分

  (3)由g(x)=2x+x2+2aln x,

  得g′(x)=-2x2+2x+2ax,

  由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,

  则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,

  即-2x2+2x+2ax≤0在[1,2]上恒成立.

  即a≤1x-x2在[1,2]上恒成立. ………10分

  令h(x)=1x-x2,

  在[1,2]上h′(x)=-1x2-2x=-(1x2+2x)<0,

  所以h(x)在[1,2]上为减函数,

  h(x)min=h(2)=-72,所以a≤-72.

  故实数a的取值范围为{a|a≤-72}. ……… 12分

  20. (Ⅰ)证明:∵M,N分别是PB,PC中点

  ∴MN是△ABC的中位线

  ∴MN∥BC∥AD

  又∵AD⊂平面PAD,MN 平面PAD

  所以MN∥平面PAD. ……………….4分

  (Ⅱ)过点P作PO垂直于AB,交AB于点O,

  因为平面PAB⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,

  如图建立空间直角坐标系

  设AB=2,则A(-1,0,0),C(1,1,0),M( ,0, ),

  B(1,0,0),N( , , ),则 ,

  设平面CAM法向量为 ,由 可得

  ,令 ,则 ,即

  平面 法向量

  所以,二面角 的余弦值

  因为二面角 是锐二面角,

  所以二面角 等于 ……………….8分

  (Ⅲ)存在……………….9分

  设 ,则 ,由 可得 ,

  所以在 存在点 ,使得 平面 ,

  此时 .……………….12分

  21.

  (Ⅰ)由点 在椭圆上得, ①

  ②

  由①②得 ,

  故椭圆 的标准方程为 ……………….5分

  ......................9分

  22.:(1)解:

  ∴ ………1分

  由 得 ,

  由 ,得

  ∴ 在 上单调递减,在 上单调递增,

  ∴ , 无极大值. ………3分

  (2)解:

  ∴

  又 ,易得 在 上单调递减,在 上单调递增,

  要使函数 在 内有两个零点,

  需 ,即 ,………5分

  ∴ ,

  ∴ ,即的取值范围是 . ………7分

  (3)若 ,∵ 在 上满足 ,

  ∴ 在 上单调递减,∴ .

  ∴ 不存在最大值. ………8分

  则 .

  ∴方程 有两个不相等的正实数根,令其为 ,且不妨设

  则 .

  在 上单调递减,在 上调递增,在 上单调递减,

  对 ,有 ;对 ,有 ,

  ∴ .

  ∴

  .

  将 , 代入上式,消去 得

  ∵ ,∴ , .

  据 在 上单调递增,得 .

  设 , .

  , .

  ∴ ,即 在 上单调递增.

  ∴

  ∴ 存在最大值为 .………12分

  高二数学下册期中调研测试题参考

  一、选择题(共12小题,每小题5分,共计60分)

  1.已知复数z满足 ,那么 的虚部为( )

  A.1 B. -i C. D.i

  2.定积分 的值为( )

  A. B. C. D.

  3.观察下列各式: , , ,….若 ,则 =( )

  A.43 B. 73 C.57 D.91

  4.按ABO血型系统学说,每个人的血型为A,B,O,AB型四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时,子女的血型一定不是O型,若某人的血型的O型,则父母血型的所有可能情况有( )

  A.12种 B.6种 C.9种 D.10种

  5.曲线 与坐标轴所围成图形面积是( )

  A.4 B.2 C. D.3

  6. 的展开式中常数项是( )

  A. 160 B.-20 C.20 D.-160

  7.用数学归纳法证明“ ,从 “ 到 ”时,左边应增添的式子是 ( )

  A. B.

  C. D.

  8.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q件,且销量Q与零售价P有如下关系:Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )

  A.3 0元 B.60元

  C.23000元 D.28000元

  9.若 ,则 等于( )

  A.-2 B. 4 C.2 D.-4

  10.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案的种数是( )

  A.12 B.24 C.36 D.30

  11.若不等式2xln x≥-x2+ax-3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是 (   )

  A.(-∞,0) B.(0,+∞)

  C. (-∞,4] D.[4,+∞)

  12. 是定义在 上的函数, 若存在区间 , 使函数 在 上的值域恰为 ,则称函数 是 型函数.给出下列说法:

  ① 不可能是 型函数;

  ②若函数 是 型函数, 则 , ;

  ③设函数 是 型函数, 则 的最小值为 ;

  ④若函数 是 型函数, 则 的最大值为 .

  下列选项正确的是( )

  A.②④ B.②③ C.①③ D.①④

  二、填空题(共4小题,每小题5分,共计20分)

  13、已知函数 在 处有极大值,在 处极小值,

  则 ,

  14. 设 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 的值为 .

  15. 在平面直角坐标系 中,若曲线 在 (e为自然对数的底数)处的切线与直线 垂直,则实数a的值为 .

  16. 已知集合 ,以下命题正确的序号是 .

  ①如果函数 ,其中 ,那么 的最大值为 。

  ②数列 满足首项 , ,当 且 最大时,数列 有2048个。

  ③数列 满足 , , ,如果数列 中的每一项都是集合M的元素,则符合这些条件的不同数列 一共有33个。

  ④已知直线 ,其中 ,而且 ,则一共可以得到不同的直线196条。

  三、解答题(共6小题,17题10分,18至22题每题12分,共计70分)

  17. 已知复数

  (1)m取什么值时,z是实数?

  (2)m 取什么值时,z是纯虚数?

  18.(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求

  (1)a1+a2+a3+a4.

  (2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.

  1 9. 6个人坐在一排10个座位上,问

  (1)空位不相邻的坐法有多少种?

  (2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?

  (3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?

  20. 用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

  21. 设 ,其中 为正整数.

  (1)求 的值;

  (2)猜想满足不等式 的正整数 的范围,并用数学归纳法证明你的猜想

  22. 已知函数 ,其中 为常数.

  (1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程;

  (2)若 ,求证: 有且仅有两个零点;

  (3)若 为整数,且当 时, 恒成立,求 的最大值.

  答案部分

  一、选择题(共12小题,每小题5分,共计60分)

  ABBCD  DCCDD CA

  二、填空题(共4小题,每小题5分,共计20分)

  13. -3, -9 14. 15. 16. ②③④

  三、解答题(共6小题,17题10分,18至22题每题12分,共计70分)

  17.(本小题满分10分)

  (1)解

  当 时,z为实数 5分

  (2)解:

  当 时,z为纯虚数 10分

  18. (本小题满分12分)

  解:(1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,

  令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,

  令x=0得(0-3)4=a0,

  所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=(2-3)4-81=-80. 6分

  (2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,

  令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4.①

  令x=-1得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②

  所以由①②有(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2

  =(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)

  =(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625. 12分

  19. (本小题满分12分)

  解:(1) 4分

  (2) 8分

  (3) 12分

  20. (本小题满分12分)

  解:根据题意可设容器的高为x,容器的体积为V,

  则有 V=(90﹣2x)(48﹣2x)x=4x3﹣276x2+4320x,(0

  求导可得到:V′=12x2﹣552x+4320 6分

  由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10,x2=36.

  所以当00,

  当10

  所以当x=10,V有最大值V(10)=19600 11分

  答:当高为10,最大容积为19600. 12分

  21. (本小题满分12分)

  解:(1)

  3分

  (2)猜想: 5分

  证明:①当 时, 成立 6分

  ②假设当 时猜想正确,即

  ∴ 7分

  由于

  ∴ ,即 成立 11分

  由①②可知,对 成立 12分

  22. (本小题满分12分)

  解:(1)当k=0时,f(x)=1+lnx.

  因为f′(x)= ,从而f′(1)=1.

  又f(1)=1,

  所以曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程y-1=x-1,

  即x-y=0. 3分

  (2)当k=5时,f(x)=lnx+ -4.

  因为f ′(x)= ,从而

  当x∈(0,10),f ′(x)<0,f(x)单调递减;

  当x∈(10,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增.

  所以当x=10时,f(x)有极小值.

  因f(10)=ln10-3<0,f(1)=6>0,所以f(x)在(1,10)之间有一个零点.

  因为f(e4)=4+ -4>0,所以f(x)在(10,e4)之间有一个零点. 7分

  从而f(x)有两个不同的零点.

  (3)方法一:由题意知,1+lnx- >0对x∈(2,+∞)恒成立,

  即 k< 对x∈(2,+∞)恒成立.

  令h(x)= ,则h′(x)= .

  设v(x)=x-2lnx-4,则v′(x)= .

  当x∈(2,+∞)时, v′(x)(x)>0,所以v(x)在(2,+∞)为增函数.

  因为v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,v(9)=5-2ln9>0,

  所以存在x0∈(8,9),v(x0)=0,即x0-2lnx0-4=0.

  当x∈(2,x0)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,

  当x∈(x0,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.

  所以当x=x0时,h(x)的最小值h(x0)= .

  因为lnx0= ,所以h(x0)= ∈(4,4.5).

  故所求的整数k的最大值为4. 12分

  方法二:由题意知,1+lnx- >0对x∈(2,+∞)恒成立.

  f(x)=1+lnx- ,f ′(x)= .

  ①当2k≤2,即k≤1时,f′(x)>0对x∈(2,+∞) 恒成立,

  所以f(x)在(2,+∞)上单调递增.

  而f(2)=1+ln2>0成立,所以满足要求.

  ②当2k>2,即k>1时,

  当x∈(2,2k)时,f ′(x)<0, f(x)单调递减,

  当x∈(2k,+∞),f ′( x)>0,f(x)单调递增.

  所以当x=2k时,f(x)有最小值f(2k)=2+ln2k-k.

  从而f(x)>0在x∈(2,+∞)恒成立,等价于2+ln2k-k>0.

  令g(k)=2+ln2k-k,则g′(k)= <0,从而g(k) 在(1,+∞)为减函数.

  因为g(4) =ln8-2>0,g(5) =ln10-3<0 ,

  所以使2+ln2k-k<0成立的最大正整数k=4.

  综合①②,知所求的整数k的最大值为4.

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