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第二学期高二级数学期中考试试题

时间:2019-03-22

  有很多同学都说数学学习不好,那么我们大家有尝试去做数学题吗,今天小编就给大家来分享一下高二数学,需要的来一起参考吧

  数学第二学期高二年级期中题

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的.

  1.命题“ ”的否定为

  A. B.

  C. D.

  2.已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则

  A. B. C. D.

  3.已知平面 的法向量为 ,点 不在 内,则直线 与平面的位置关系为

  A. B.

  C. 与 相交不垂直 D.

  4.为防止某种疾病,今研制一种新的预防药.任选取100只小白鼠作试验,得到如下的列联表:

  经计算得 ,则在犯错误的概率不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”。

  A.0.025 B.0.10 C . 0.01 D. 0.05

  参考数据:

  气温(℃) 18 13 10 -1

  销售量个) 24 34 38 64

  5.某咖啡厂为了了解热饮的销售量 (个)与气温 (℃)之间的关系,随机统计了某4天的销售量与气温,并制作了对照表:

  由表中数据,得线性回归方程为y^= x ,,当气温为-4℃时,预测销售量约为

  A.68 B.66 C.72 D.70

  6.抛掷两枚骰子,当至少有一枚5点或6点出现时,就说试验成功,则在30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是

  A. B. C.10 D.20

  7.下列选项中,说法正确的是

  A.若命题“ ”为真命题,则命题 和命题 均为真命题

  B. 是 的必要不充分条件

  C. 是 的充要条件

  D.命题“若 构成空间的一个基底,则 构成空间的一个基底”的否命题为真命题

  8.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线与圆 有公共点 ,且圆在 点的切线与双曲线的渐近线平行,则双曲线的离心率为

  A. B. C. 或 D.以上都不对

  9.某校在高二年级开设选修课,选课结束后,有四名同学要求改选物理,现物理选修课开有三个班,若每个班至多可再接收2名同学,那么不同的接收方案共有

  A.72种 B.54种 C.36种 D.18种

  10.已知函数 有平行于 轴的切线且切点在 轴右侧,则 的范围为

  A. B. C. D.

  11.抛物线 的焦点为 ,准线为 , 是抛物线上的两个动点,且满足 .设线段 的中点 在 上的投影为 ,则 的最大值是

  A. B. C. D.

  12.在棱长为 的正方体 中, 是 的中点,点 在侧面 上运动.现有下列命题:

  ①若点 总保持 ,则动点 的轨迹所在的曲线是直线;

  ②若点 到点 的距离为 ,则动点 的轨迹所在的曲线是圆;

  ③若 满足 ,则动点 的轨迹所在的曲线是椭圆;

  ④若 到直线 与直线 的距离比为 ,则动点 的轨迹所在的曲线是双曲线;

  ⑤若 到直线 与直线 的距离相等,则动点 的轨迹所在的曲线是抛物线.

  其中真命题的个数为( )

  A.4 B.3 C.2 D.1

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

  13.假定一个家庭有两个小 孩,生男、生女是等可能的,在已知有一个是女孩的前提下,则另一个小孩是男孩的概率是 .

  14.已知空间四点 共面,则 =

  15.已知 是圆 ( 为圆心)上一动点,线段 的垂直平分线交直线 于 ,则动点 的轨迹方程为 .

  16.把长度 和宽 分别为 和2的长方形 沿对角线 折成 的二面角,则 等于 .

  三、解答题:本大题 共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

  17.(本小题满分10分)

  已知 恒成立, 方程 表示焦点在 轴上的椭圆,若命题“ 且 ”为假,求实数 的取值范围.

  18.(本小题满分12分)

  已知 展开式中各项的二项式系数和比各项的系数和大256;

  (Ⅰ)求展开式中的所有无理项的系数和;

  (Ⅱ)求展开式中系数最大的项.

  19.(本小题满分12分)

  已知点M到点 的距离比到点M到直线 的距离小4;

  (Ⅰ)求点M的轨 迹 的方程;

  (Ⅱ)若曲线C上存在两点A,B关于直线l: 对称,求直线AB的方程.

  20.(本小题满分12分)

  医生的专业能力参数 可有效衡量医生的综合能力, 越大,综合能力越强,并规定: 能力参数 不少于30称为合格,不少于50称为优秀.某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核,得到如图所示的能力 的频率分布直方图:

  (Ⅰ)求出这个样本的合格率、优秀率;

  (Ⅱ)现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机选出2名.

  ①求这2名医生的能力参数 为同一组的概率;

  ②设这2名医生中能力参数 为优秀的人数为 ,求随机变量 的分布列和期望.

  21.(本小题满分12分)

  如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,E为AD的中点, PA=PD=4,BC=12AD=2,CD= .

  (Ⅰ)求证:PA⊥CD;

  (Ⅱ) 若M是棱PC的中点,求直线PB与平面BEM所成角的正弦值;

  (Ⅲ)在棱PC上是否存在点N,使二面角N-EB-C 的余弦值为 ,若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.

  22.(本小题满分12分)

  已知椭圆 的左、右焦点分别是 ,离心率为 ,过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 ;

  (Ⅰ)求椭圆 的方程;

  (Ⅱ)若P为椭圆C在第一象限内的任意一点,过点P且斜率为 的直线与椭圆相切,设 的斜率分别为 ,试证明 为定值,并求出此定值;

  (Ⅲ)若直线 与椭圆 交于不同的两点 ,且原点O到直线l的距离为1,设 ,当 时,求 的面积 的取值范围.

  高二数学(理科)参考答案

  一、选择题:

  题号 1 2 3 4 5

  6 7 8 9 10 11 12

  答案 C C D B A B D B B A C C

  二、填空题:

  13. 14. 15. 16.

  三、解答题:

  17. 解:由题意:若 为真,则有 对 恒成立

  取“=” …………4分

  若 为真,则有 ,即 或 ………8分

  由 且 为假,则 、 中至少一个为假

  若 、 均为真,则

  且 为假,实数 的取值范围是 …………10分

  18.解:由条件得 ,则 ,则 的第 项为

  …………4分

  (1)由通项公式易知当 时, 为无理项

  故无理项的系数和为 …………8分

  (2) 当 时,系数为 ;当 时,系数为

  当 时,系数最大,故系数最大的项为 ……12分

  19.解:(1)结合图形知,点M不可能在 轴的左侧,即M到点 的距离等于M到直线 的距离 M的轨迹是抛物线, 为焦点, 为准线 M的轨迹方程是: (或由 化简得 )……6分

  (2)设 则 相减得

  又 的斜率为-4则

  中点的坐标为 , 即

  经检验,此时, 与抛物线有两个不同的交点,满足题意. …………12分

  20. 解:(1)合格率是:

  优秀率是: …………3分

  (2)由题意知,这20名医生中,[20,30]有4人,[30,40]有6人,[40,50]有4人,[50,60]有3 人,[60,70]有2人,[70,80]有1人

  ① …………7分

  ②优秀的人数为:3+2+1=6人

  ,

  的分布列是:

  0 1 2

  故 的期望是 …………12分

  21.解:(1) 面 面

  等腰 中, 为 的中点, 面

  又 在面 内的射影是 ,

  由三垂线定理知: …………4分

  (2)以 为原点,分别以 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系,由 得

  又 则 , 又

  设平面 的一个法向量为

  则

  令 则 又

  设直线 与平面 所成角为

  则 …………8分

  (3)假设在棱 上存在点 ,使二面角 的余弦值为

  设 ,则

  又 ,设平面 的一个法向量为

  则

  令

  又 为平面 的一个法向量

  则 解得 (负值舍)

  故存在点 为棱 的靠近 的三分点符合条件. …………12分

  22.解:(Ⅰ)椭圆方程为 …………3分

  (Ⅱ)设点 的坐标为

  则 ,又由 得

  则 ,又

  ,故 ……7分

  (Ⅱ)方法二:设 与 相切于点

  则 即

  又 即 (同上)

  (Ⅲ)设

  联立

  则 则

  又 点 到直线 的距离为1, 即

  则 ,

  令 ,则 ,

  又 ,由 得

  故当 时, ;当 时, , 的范围是 ……12分

  高二下学期数学理期中联考试题

  一 、选择题 (本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

  1.命题“存在实数 ,使 >1”的否定是( )

  A.对任意实数 ,都有 >1 B.不存在实数 ,使 ≤1

  C.对任意实数 ,都有 ≤1 D.存在实数 ,使 ≤1

  2.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(  )

  A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)

  C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)

  3. 是 的( )

  A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

  C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

  4.已知点 及抛物线 上一动点 ,则 的最小值是( )

  A. 2 B.3 C.4 D.

  5.已知 , ,则 的最小值为( )

  A. B. C. D.

  6. 在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BCA=90°,点E、F分别是A1B1、A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BE与AF所成的角的余弦值是( )

  A. 3010  B. 12 C. 3015  D. 1510

  7.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的值为( )

  A.-4 B.1 C.10 D.11

  8.已知a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为(  )

  A. x±2y=0 B. 2x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0

  9.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(  )

  A.x245+y236=1 B.x236+y227=1 C.x227+y218=1 D.x218+y29=1

  10.双曲线C: 的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-4,-2],那么直线PA1斜率的取值范围是(  )

  A. B. C. D.

  二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)。

  11.在空间中,

  (1)若四点不共面,则这四点中任三个点都不共线;

  (2)若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.

  以上两个命题中,逆命题为真命题的是_____________(只填序号)

  12.已知空间四边形OABC,如图所示,其对角线为OB,AC.M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且 ,现用基向量 表示向量 ,并设 ,则 ______.

  13.已知P是抛物线C: 上一点,则点P到直线 的最短距离为______.

  14.已知 直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足.点B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于 ________.

  15.已知椭圆E: 与双曲线D: (a>0,b>0),直线 : 与双曲线D的两条渐近线分别交于点A,B.若椭圆E的右焦点F在以线段AB为直径的圆内,则椭圆的离心率 的取值范围是________.

  三、解答题(本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明证明过程或演算步骤).

  16.(本小题满分12分)

  已知命题P: 表示双曲线;命题q: ( ),若 是 的充分非必要条件,试求实数 的取值范围.

  17.(本小题满分12分)

  如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.x

  (1)求证:EF⊥CF;

  (2)求 与 所成角的余弦值.

  18.(本小题满分12分)

  设命题p:“直线x+y-m=0与圆 不相交”,命题q:“ 有一正根和一负根。”如果p q为真且p q为假,求m的取值范围.

  19.(本小题满分12分)

  已知抛物线C: ,过点K( ,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D,且直线BD与x轴相交于点P(m,0),求m的值.

  20. (本小题满分13分)

  已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC = AD = CD = DE = 2, AB = 1,F为CD的中点.

  (Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE;

  (Ⅱ)求直线AC与平面CBE所成角正弦值;

  (Ⅲ)求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小.

  21. (本小题满分14分)

  已知椭圆C: 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线 与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

  (1)求椭圆的方程;

  (2)设 为椭圆上一点,若过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 和 ,且满足 (O为坐标原点),求实数 的取值范围.

  参考答案

  一、选择题

  1、C 2、B 3、B 4、A 5、D 6、A 7、D 8、A 9、D 10、C

  二、填空题

  11、(2) 12、 13、 14、 15.

  三 、解答题(若不同于参考答案,可根据步骤酌情给分)

  16. 解:由命题P得 ∴ 4分

  由命题q得∴ 5分

  由题意及逆否命题的等价性可知 ,即 7分

  ∴由 (不同时取等号)及 得 11分

  ∴所求m的取值范围为 12分

  17.(1)证明:建立如图所示的空间直有坐标系D-xyz, 1分

  则D(0,0,0),E(0,0, ),C(0,1,0),F( , ,0),G(1,1, ) 3分

  所以 =( , ,- ), =( ,- ,0), =(1,0, ),

  =(0,-1, ).4分 因为 ,5分

  所以 ,即EF⊥CF. 6分

  (2)解:因为 , 8分

  ,

  . 10分

  所以 12分

  18.解:对命题P:

  由x+y-m=0和 得

  则 ,∴

  ∴P为真时 3分

  对命题q:则有题意得 得

  ∴q为真时 6分

  由题意可知P与q有且只有一个命题为真命题 7分

  若P假q真时, ∩ = 9分

  若P真q假时, ∩ = 11分

  综述: 12分

  19. 设A D , 的方程为

  将 代入 中整理得 4分

  从而 5分

  ∴直线BD方程为 即 8分

  令y=0,得 =2,10分 即P(2,0) ∴m=2 12分

  20. 解:(Ⅰ)∵DE⊥平面ACD,AF 平面ACD,∴DE⊥AF.

  又∵AC=AD,F为CD中点,∴AF⊥CD,

  因CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE. ……………… 4分

  (Ⅱ)取CE的中点Q,连接FQ,因为F为CD的中点,则FQ∥DE,故DE⊥平面ACD

  ∴FQ⊥平面ACD,又由(Ⅰ)可知FD,FQ,FA两两垂直,以O为坐标原点,

  如图建立空间直角坐标系F—xyz,

  ∴直线AC与平面CBE所成角的正弦值为

  (Ⅲ)平面ACD的一个法向量为 ,则

  ∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°.………………13分

  21. 解: (1)由题意:以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为 ,

  ∴圆心到直线 的距离

  ∵椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得b=c=1 ∴

  故所求椭圆方程为 5分

  (Ⅱ)由题意知直线 的斜率存在,设直线 方程为 ,设

  将直线方程代入椭圆方程得: ………… 6分

  ∴

  ∴ 7分

  设 , 则 ………………8分

  当t=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0, 成立,故,t=0符合题意。

  当 时

  得

  ∴ …………… 10分

  将上式代入椭圆方程得:

  整理得: 12分

  由 知

  综上所以t∈(-2,2)…………… 14分

  高二数学下学期期中试题理科

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.设 ,则 在复平面内对应的点位于

  A.第一象限 B.第二 象限 C.第三象限 D.第四象限

  2.已知8件产品中有2件次品,从中任取3件,取到次品的件数为随机变量,用 表示,那么 的取值为

  A.0,1 B.1,2 C.0,1,2 D.0,1,2,3

  3.计算

  A.1 B.2 C.3 D.4

  4.在曲线 上切线的斜率为3的点是

  A.(0,0) B.(1,1) C.(-1,-1) D.(1,1)或(-1,-1)

  5.某射击运动员射击一次,命中目标的概率为0. 8,问他连续射击两次都没命中的概率为

  A.0.8 B.0.64 C.0.16 D.0.04

  6.下列函数 中,满足“对任意 ,当 时,都有 ”的是

  A. B. C. D.

  7.复数 的共轭复数是

  A. B. C. D.

  8.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有

  A.60种 B.70种 C.75种 D.150种

  9.函数 的单调递增区间为

  A. 与 B. C.(0,1) D.(1,+∞)

  10.

  A. B. C. D.

  11.在 的展开式中,记 项的系数为 ,则

  A.210 B.120 C.60 D.54

  12.已知函数 ,若 存在唯一的零点 ,且 ,则实数a的取值范围是

  A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-2)

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

  13. 的展开式中常数项为 ▲ .

  14.从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的数 组成复数 ,其中虚数有 ▲ 个(用数字作答).

  15.设随机变量  ,且 , ,则 ▲ .

  16.数列 满足 , ,则 ▲ .

  三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出证明过程或演算步骤.

  17.(本小题满分10分)

  在 平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),曲线C的参数方程为 ( 为 参数).

  (1)求直线 和曲线C的普通方程;

  (2)求直线 和曲线C的公共点的坐标.

  18.(本小题满分12分)

  某产品的广告费用支出 与销售额 (单位:百万元)之间有如下的对应数据:

  /百万元

  2 4 5 6 8

  /百万元

  30 40 60 50 70

  (1)求 与 之间的回归直线方程;(参考数据: , )

  (2)试预测广告费用支出为1千万元时,销售额是多少?

  19.(本小题满分12分)

  随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,得到如下 列联表:

  读营养说明 不读营养说明 合计

  男 16 4 20

  女 8 12 20

  合计 24 16 40

  (1)根据以上列联表进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是否读营养说明之间有关系”?

  (2)从被询问的16名不读营养说明的大学生中,随机抽取2名学生,求抽到男生人数 的分布列及其数学期望.

  20.(本小题满分12分)

  如图,在四面体 中, 平面 , . 是 的中点, 是 的中点,点 在线段 上,且 .

  (1)证明:BC⊥CM;

  (2)证明: 平面 .

  2 1.(本小题满分12分)

  已知函数 ( ), 是 的导函数.

  (1)当 时,对于任意的 , ,求 的最小值;

  (2) 若存在 ,使 ,求 的取值范围.

  22.(本小题满分12分)

  已知函数 ( ).

  (1)讨论 的单调性;

  (2)设 , ,证明: .

  2014—2015学年第二学期统一检测题

  高二数学(理科)参考答案及评分标准

  一、选择题

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  答案 B C A D D A B C C D B D

  二、填空题

  13.6 14.25 15. 16.

  三、解答题

  17.(本小题满分10分)

  解:(1)由直线 的参数方程为 ( 为参数),得 ,代入 ,得直线 的普通方程为 . (3分)

  由曲线C的参数方程为 ( 为参数),得 ,代入 ,得曲线C的普通方程 . (6分)

  (2)由题意,得 解得 或 . (8分)

  故直线 和曲线C的公共点的坐标为 . (10分)

  18.(本小题满分12分)

  解:(1) , (1分)

  , (2分)

  , (3分)

  , (4分)

  , (6分)

  , (8分)

  所以回归直线方程为 . (9分)

  (2)当x=10时, (百万元),即当广告费用支出为1千万元时,销售额是8.25千万元. (12分)

  19.(本小题满分12分)

  解:(1)因为 , (3分)

  所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“性别与是否读营养说明之间有关系”.

  (5分)

  (2)由题意 的取值为0,1,2. (6分)

  因为 , , ,

  所以 的分布列为:

  0 1 2

  (9分)

  所以 的数学期望为 . (12分)

  20.(本小题满分12分)

  证明:(1)因为AD⊥平面BCD,BC平面BCD,

  所以BCAD. (1分)

  又BC⊥CD,且CD、AD平面ACD,CD∩AD=D,新课 标第 一 网

  所以BC平面ACD. (2分)

  又CM平面ACD, (3分)

  所以平面BCCM. (4分)

  (2)取BD的中点E,在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连接PE,EF,QF. (5分)

  因为P、E分别是BM、BD的中点,所以PE为△BDM的中位线, (6分)

  所以PE//DM,且 ,即PE//AD,且 . (7分)

  在△CAD中,AQ=3QC,DF=3FC,

  所以QF//AD,且 . (9分)

  所以PE//QF,且PE=QF,故四边形EFQP为平行四边形. (10分)

  所以PQ//EF. (11分)

  又EF平面BCD,PQ平面BCD,所以PQ//平面BCD. (12分)

  21.(本小题满分12分)

  解:(1)当 时, , . (1分)

  令 ,得 . (2分)

  当 时, ,所以 在(-1,0)上单调递减;

  当 时, ,所以 在(0,1)上单调递增;

  所以对于 , 的最小值为 . (3分)

  因为 的开口向下,且对称轴为 ,所以对于 , 的最小值为 . (4分)

  故 的最小值为-11. (5分)

  (2) . (6分)

  ①若 ,当 时, ,所以 在 上单调递减,又 ,则当 时, . 所以当 时,不存在 ,使 . (8分)

  ②若 ,当 时, ,所以 在 上单调递增;当 时, ,所以 在 上单调递减;

  故当 时, . (10分)

  依题意 ,解得 . (11分)

  综上, 的取值范围是 . (12分)

  22.(本小题满分12分)

  解:(1) 的定义域为(-1,+∞).

  . (1分)

  ①当 时,xkb1

  若 ,则 ,所以 在 上单调递增;

  若 ,则 ,所以 在 上单调递减;

  若 ,则 ,所以 在 上单调递增. (3分)

  ②当 时, ,所以 在 上单调递增. (4分)

  ③当 时,

  若 ,则 ,所以 在 上单调递增;

  若 ,则 ,所以 在 上单调递减;

  若 ,则 ,所以 在 上单调递增. (6分)

  (2)由(1)知,当 时, 在 上单调递增,所以当 时, ,即 . (7分)

  又由(1)知,当 时, 在 上单调递减,所以当 , ,即 . (8分)

  下面用数学归纳法证明: .

  ①当 时,由已知 ,故结论成立; (9分)

  ②假设当 时结论成立,即 ,

  当 时, . (10分)

  , (11分)

  即当 时,有 成立.

  根据①、②知对任何 结 论成立. (12分)

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