首页 > 学习方法 > 初中学习方法 > 初三 > 初三数学

上学期初三年级期中考试试题

时间:2019-06-02 阅读:

  不好好学习数学,在中考怎么取的好的成绩哦,今天小编就给大家参考一下九年级数学,有需要的就来看看吧

  初三年级数学上期中试题

  一.选择题(共12小题,满分48分)

  1.下列美丽的图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有(  )

  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

  2.如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,则∠AOB′的度数是(  )

  A.25° B.30° C.35° D.40°

  3.下列函数中,二次函数的是(  )

  A.y=2x2+1 B.y=2x+1

  C.y= D.y=x2﹣(x﹣1)2

  4.将抛物线y=﹣ x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后所得到的抛物线解析式是(  )

  A. B.

  C. D.

  5.抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过A(4,4),B(2,m)两点,点B到抛物线对称轴的距离记为d,满足0

  A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2

  6.图示为抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=2,若其与x轴的一交点为B(6,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是(  )

  A.x>6 B.06

  7.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表,则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是(  )

  x 6.17 6.18 6.19 6.20

  y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04

  A.﹣0.01

  C.6.18

  8.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表所示:]

  x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …

  y … 0 4 6 6 4 …

  从上表可知,下列说法中,错误的是(  )

  A.抛物线于x轴的一个交点坐标为(﹣2,0)

  B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)

  C.抛物线的对称轴是直线x=0

  D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的

  9.如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点,则BC=(  )

  A. B. C. D.

  10.关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论:

  ①2a+b<0;②ab<0;③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根;

  ④抛物线y=2x2+ax+b+2的顶点在第四象限.其中正确的结论有(  )

  A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④

  11.如图,函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(  )

  A. B.

  C. D.

  12.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=﹣1,点B的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正确的结论有(  )个.

  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

  二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)

  13.二次函数y=﹣x2﹣2x+3的最大值是   .

  14.已知抛物线y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2与x轴交于A (α,0),B(β,0)两点,且α2+β2=17,则k=   .

  15.若二次函数y=x2+2m﹣1的图象经过原点,则m的值是   .

  16.将点P(﹣1,3)绕原点顺时针旋转180°后坐标变为   .

  17.已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是   cm.

  18.“a是 实数,|a|≥0”这一事件是    事件.

  三.解答题(共7小题,满分64分)

  19.(10分)已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.

  (1)求出点A、B的坐标,并画出该二次函数的图象(不需要列表,但是要在图中标出A、B、C、D);

  (2)设一次函数y2=kx+b的图象经过B、D两点,观察图象回答:

  ①当   时,y1、y2都随x的增大而增大;

  ②当   时,y1>y2.

  20.(10分)如图,△ABC中,∠B=15°,∠ACB=25°,AB=4cm,△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好成为AD的中点.

  (1)指出旋转中心,并求出旋转的度数;

  (2)求出∠BAE的度数和AE的长.

  21.(10分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣4,2)、B(0,4)、C(0,2),

  (1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;

  (2)△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称,则对称中心的坐标为   .

  22.(11分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,已知△ABC三个定点坐标分别为A(﹣4,1),B(﹣3,3),C(﹣1,2).

  (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,点A,B,C的对称点分别是点A1、B1、C1,直接写出点A1,B1,C1的坐标:A1(   ,   ),B1(   ,   ),C1(   ,   );

  (2)画出点C关于y轴的对称点C2,连接C1C2,CC2,C1C,并直接写出△CC1C2的面积是   .

  23.(11分)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,CE=2.

  (1)求AB的长;

  (2)求⊙O的半径.

  24.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O是边AC上一点,以O为圆心,以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D,在BC的延长线上取点F,使得BF=EF.

  (1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;

  (2)若∠A=30°,求证:DG= DA;

  (3)若∠A=30°,且图中阴影部分的面积等于2 ,求⊙O的半径的长.

  25.抛物线y=﹣ x2﹣ x+ 与x轴 交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

  (1)如图1,连接CD,求线段CD的长;

  (2)如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点,PF⊥x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移,线段OB的对应线段是O1B1,当PE+ EC的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求出对应的点O1的坐标;

  (3)如图3,点H是线段AB的中点,连接CH,将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置,再将△O2B2C绕点B2旋转一周,在旋转过程中,点O2,C的对应点分别是点O3,C1,直线O3C1分别与 直线AC,x轴交于点M,N.那么,在△O2B2C的整个旋转过程中,是否存在恰当的位置,使△AMN是以MN为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的线段O2M的长;若不存在,请说明理由.

  参考答案

  一.选择题

  1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.

  7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.

  二.填空题

  13. 4.

  14. 2.

  15. .

  16.(1,﹣3).

  17. 2或14.

  18.必然.

  三.解答题

  19.解:(1)令y1=0,得x2﹣2x﹣3=0,解得x1=3,x2=﹣1,

  ∴A(﹣1,0),B(3,0),

  令x=0,得y=﹣3,

  ∴C(0,﹣3),

  ﹣ =﹣ =1,

  = =﹣4,

  ∴D(1,﹣4);

  (2)①由题意得,当x>1时y随x的增大而增大;

  ②当x<1或x>3时,y1>y2.

  故答案为x>1,x<1或x>3.

  20.解:(1)∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°,

  即∠BAD=140°,

  所以旋转中心为点A,旋转的度数为140°;

  (2)∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,

  ∴∠EAD=∠BAC=140°,AE=AC,AD=AB=4

  ∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°,

  ∵点C恰好成为AD的中点,

  ∴AC= AD=2,

  ∴AE=2.

  21.解:(1)△A1B1C如图所示,

  △A2B2C2如图所示;

  (2)如图,对称中心为(2,﹣1).

  22.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.

  A1(﹣4,﹣1)B1(﹣3,﹣3),C1(﹣1,﹣2),

  故答案为:﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;

  (2)如图所示,△CC1C2的面积是 ×2×4=4,

  故答案为:4.

  23.解:(1)∵CD⊥AB,AO⊥BC

  ∴∠AFO=∠CEO=90°,

  在△AOF和△COE中,

  ,

  ∴△AOF≌△COE,

  ∴CE=AF,

  ∵CE=2,

  ∴AF=2,

  ∵CD是⊙O的直径,CD⊥AB,

  ∴ ,

  ∴AB=4.

  (2)∵AO是⊙O的半径,AO⊥BC

  ∴CE=BE=2,

  ∵AB=4,

  ∴ ,

  ∵∠AEB=90°,

  ∴∠A=30°,

  又∵∠AFO=90°,

  ∴cosA= = = ,

  ∴ ,即⊙O的半径是 .

  24.解:(1)连接 OE,

  ∵OA=OE,

  ∴∠A=∠AEO,

  ∵BF=EF,

  ∴∠B=∠BEF,

  ∵∠ACB=90°,

  ∴∠A+∠B=90°,

  ∴∠AEO+∠BEF=90°,

  ∴∠OEG=90°,

  ∴EF是⊙O的切线;

  (2)∵∠AED=90°,∠A=30°,

  ∴ED= AD,

  ∵∠A+∠B=90°,

  ∴∠B=∠BEF=60°,

  ∵∠BEF+∠DEG=90°,

  ∴∠DEG=30°,

  ∵∠ADE+∠A=90°,

  ∴∠ADE=60°,

  ∵∠ADE=∠EGD+∠DEG,

  ∴∠DGE=30°,

  ∴∠DEG=∠DGE,

  ∴DG=DE,

  ∴DG= DA;

  (3)∵AD是⊙O的直径,

  ∴∠AED=90°,

  ∵∠A=30°,

  ∴∠EOD=60°,

  ∴∠EGO=30°,

  ∵阴影部分的面积= ×r× r﹣ =2 ﹣ π.

  解得:r2=4,即r=2,

  即⊙O的半径的长为2.

  25.解:(1)如图1,过点D作DK⊥y轴于K,

  当x=0时,y= ,

  ∴C(0, ),

  y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ (x+ )2+ ,

  ∴D(﹣ , ),

  ∴DK= ,CK= ﹣ = ,

  ∴CD= = = ;

  (2)在y=﹣ x2﹣ x+ 中,令 y=0,则﹣ x2﹣ x+ =0,

  解得:x1=﹣3 ,x2= ,

  ∴A(﹣3 ,0),B( ,0),

  ∵C(0, ),

  易得直线AC的解析式为:y= ,

  设E(x, ),P(x,﹣ x2﹣ x+ ),

  ∴PF=﹣ x2﹣ x+ ,EF= ,

  Rt△ACO中,AO=3 ,OC= ,

  ∴AC=2 ,

  ∴∠CAO=30°,

  ∴AE=2EF= ,

  ∴PE+ EC=(﹣ x2﹣ x+ )﹣( x+ )+ (AC﹣AE),

  =﹣ ﹣ x+ [2 ﹣( )],

  =﹣ ﹣ x﹣ x,

  =﹣ (x+2 )2+ ,(5分)

  ∴当PE+ EC的值最大时,x=﹣2 ,此时P(﹣2 , ),(6分)

  ∴PC=2 ,

  ∵O1B1=OB= ,

  ∴要使四边形PO1B1C周长的最小,即PO1+B1C的值最小,

  如图2,将点P向右平移 个单位长度得点P1(﹣ , ),连接P1B1,则PO1=P1B1,

  再作点P1关于x轴的对称点P2(﹣ ,﹣ ),则P1B1=P2B1,

  ∴PO1+B1C=P2B1+B1C,

  ∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1,

  ∴B1(﹣ ,0),

  将B1向左平移 个单位长度即得点O1,

  此时PO1+B1C=P2C= = ,

  对应的点O1的坐标为(﹣ ,0),(7分)

  ∴四边形PO1B1C周长的最小 值为 +3 ;(8分)

  (3)O2M的长度为 或 或2 + 或2 .(12分)

  理由是:如图3,∵H是AB的中点,

  ∴OH= ,

  ∵OC= ,

  ∴CH=BC=2 ,

  ∴∠HCO=∠BCO=30°,

  ∵∠ACO=60°,

  ∴将CO沿CH对折后落在直线AC上,即O2在AC上,

  ∴∠B2CA=∠CAB=30°,

  ∴B2C∥AB,

  ∴B2(﹣2 , ),

  ①如图4,AN=MN,

  ∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3,

  由旋转得:∠CB2C1=∠O2B2O3=30°,B2C=B2C1,

  ∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°,

  过C1作C1E⊥B2C于E,

  ∵B2C=B2C1=2 ,

  ∴ =B2O2,B2E= ,

  ∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1,

  ∠B2O2M=∠C1EC=90°,

  ∴△C1EC≌△B2O2M,

  ∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2 ﹣ ;

  ②如图5,AM=MN,此时M与C重合,O2M=O2C= ,

  ③如图6,AM=MN,

  ∵B2C=B2C1=2 =B2H,即N和H、C1重合,

  ∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°,

  ∴O2M= AO2= ;

  ④如图7,AN=MN,过C1作C1E⊥AC于E,

  ∴∠NMA=∠NAM=30°,

  ∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA,

  ∴C1B2∥AC,

  ∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°,

  ∵∠C1EC=90°,

  ∴四边形C1EO2B2是矩形,

  ∴EO2=C1B2=2 , ,

  ∴EM= ,

  ∴O2M=EO2+EM=2 + ,

  综上所述,O2M的长是 或 或2 + 或2 .

  数学九年级上册期中模拟试卷

  一.选择题(共12小题,满分48分)

  1.下列美丽的图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有(  )

  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

  2.如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,则∠AOB′的度数是(  )

  A.25° B.30° C.35° D.40°

  3.下列函数中,二次函数的是(  )

  A.y=2x2+1 B.y=2x+1

  C.y= D.y=x2﹣(x﹣1)2

  4.将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后所得到的抛物线解析式是(  )

  A. B.

  C. D.

  5.抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过A(4,4),B(2,m)两点,点B到抛物线对称轴的距离记为d,满足0

  A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2

  6.图示为抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=2,若其与x轴的一交点为B(6,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是(  )

  A.x>6 B.06

  7.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表,则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是(  )

  x 6.17 6.18 6.19 6.20

  y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04

  A.﹣0.01

  C.6.18

  8.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表所示

  x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …

  y … 0 4 6 6 4 …

  从上表可知,下列说法中,错误的是(  )

  A.抛物线于x轴的一个交点坐标为(﹣2,0)

  B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)

  C.抛物线的对称轴是直线x=0

  D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的

  9.如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点,则BC=(  )

  A. B. C. D.

  10.关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论:

  ①2a+b<0;②ab<0;③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根;

  ④抛物线y=2x2+ax+b+2的顶点在第四象限.其中正确的结论有(  )

  A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④

  11.如图,函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(  )

  A. B.

  C. D.

  12.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=﹣1,点B的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正确的结论有(  )个.

  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

  二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)

  13.二次函数y=﹣x2﹣2x+3的最大值是   .

  14.已知抛物线y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2与x轴交于A (α,0),B(β,0)两点,且α2+β2=17,则k=   .

  15.若二次函数y=x2+2m﹣1的图象经过原点,则m的值是   .

  16.将点P(﹣1,3)绕原点顺时针旋转180°后坐标变为   .

  17.已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是   cm.

  18.“a是实数,|a|≥0”这一事件是    事件.

  三.解答题(共7小题,满分64分)

  19.(10分)已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.

  (1)求出点A、B的坐标,并画出该二次函数的图象(不需要列表,但是要在图中标出A、B、C、D);

  (2)设一次函数y2=kx+b的图象经过B、D两点,观察图象回答:

  ①当   时,y1、y2都随x的增大而增大;

  ②当   时,y1>y2.

  20.(10分)如图,△ABC中,∠B=15°,∠ACB=25°,AB=4cm,△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好成为AD的中点.

  (1)指出旋转中心,并求出旋转的度数;

  (2)求出∠BAE的度数和AE的长.

  21.(10分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣4,2)、B(0,4)、C(0,2),

  (1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;

  (2)△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称,则对称中心的坐标为   .

  22.(11分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,已知△ABC三个定点坐标分别为A(﹣4,1),B(﹣3,3),C(﹣1,2).

  (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,点A,B,C的对称点分别是点A1、B1、C1,直接写出点A1,B1,C1的坐标:A1(   ,   ),B1(   ,   ),C1(   ,   );

  (2)画出点C关于y轴的对称点C2,连接C1C2,CC2,C1C,并直接写出△CC1C2的面积是   .

  23.(11分)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,CE=2.

  (1)求AB的长;

  (2)求⊙O的半径.

  24.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O是边AC上一点,以O为圆心,以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D,在BC的延长线上取点F,使得BF=EF.

  (1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;

  (2)若∠A=30°,求证:DG=DA;

  (3)若∠A=30°,且图中阴影部分的面积等于2,求⊙O的半径的长.

  25.抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

  (1)如图1,连接CD,求线段CD的长;

  (2)如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点,PF⊥x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移,线段OB的对应线段是O1B1,当PE+EC的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求出对应的点O1的坐标;[来源:学#科#网]

  (3)如图3,点H是线段AB的中点,连接CH,将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置,再将△O2B2C绕点B2旋转一周,在旋转过程中,点O2,C的对应点分别是点O3,C1,直线O3C1分别与直线AC,x轴交于点M,N.那么,在△O2B2C的整个旋转过程中,是否存在恰当的位置,使△AMN是以MN为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的线段O2M的长;若不存在,请说明理由.

  参考答案

  一.选择题

  1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.

  7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.

  二.填空题

  13. 4.

  三.解答题

  19.解:(1)令y1=0,得x2﹣2x﹣3=0,解得x1=3,x2=﹣1,

  ∴A(﹣1,0),B(3,0),

  令x=0,得y=﹣3,

  ∴C(0,﹣3),

  ﹣=﹣=1,

  ==﹣4,

  ∴D(1,﹣4);

  (2)①由题意得,当x>1时y随x的增大而增大;

  ②当x<1或x>3时,y1>y2.

  故答案为x>1,x<1或x>3.

  20.解:(1)∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°,

  即∠BAD=140°,

  所以旋转中心为点A,旋转的度数为140°;

  (2)∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,

  ∴∠EAD=∠BAC=140°,AE=AC,AD=AB=4

  ∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°,

  ∵点C恰好成为AD的中点,

  ∴AC=AD=2,

  ∴AE=2.

  21.解:(1)△A1B1C如图所示,

  △A2B2C2如图所示;

  (2)如图,对称中心为(2,﹣1).

  22.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.

  A1(﹣4,﹣1)B1(﹣3,﹣3),C1(﹣1,﹣2),

  故答案为:﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;

  (2)如图所示,△CC1C2的面积是×2×4=4,

  故答案为:4.

  23.解:(1)∵CD⊥AB,AO⊥BC

  ∴∠AFO=∠CEO=90°,

  在△AOF和△COE中,

  ,

  ∴△AOF≌△COE,

  ∴CE=AF,

  ∵CE=2,

  ∴AF=2,

  ∵CD是⊙O的直径,CD⊥AB,

  ∴,

  ∴AB=4.

  (2)∵AO是⊙O的半径,AO⊥BC

  ∴CE=BE=2,

  ∵AB=4,

  ∴,

  ∵∠AEB=90°,

  ∴∠A=30°,

  又∵∠AFO=90°,

  ∴cosA===,

  ∴,即⊙O的半径是.

  24.解:(1)连接OE,

  ∵OA=OE,

  ∴∠A=∠AEO,

  ∵BF=EF,

  ∴∠B=∠BEF,

  ∵∠ACB=90°,

  ∴∠A+∠B=90°,

  ∴∠AEO+∠BEF=90°,

  ∴∠OEG=90°,

  ∴EF是⊙O的切线;

  (2)∵∠AED=90°,∠A=30°,

  ∴ED=AD,

  ∵∠A+∠B=90°,

  ∴∠B=∠BEF=60°,

  ∵∠BEF+∠DEG=90°,

  ∴∠DEG=30°,

  ∵∠ADE+∠A=90°,

  ∴∠ADE=60°,

  ∵∠ADE=∠EGD+∠DEG,

  ∴∠DGE=30°,

  ∴∠DEG=∠DGE,

  ∴DG=DE,

  ∴DG=DA;

  (3)∵AD是⊙O的直径,

  ∴∠AED=90°,

  ∵∠A=30°,

  ∴∠EOD=60°,

  ∴∠EGO=30°,

  ∵阴影部分的面积=×r×r﹣=2﹣π.

  解得:r2=4,即r=2,

  即⊙O的半径的长为2.

  25.解:(1)如图1,过点D作DK⊥y轴于K,

  当x=0时,y=,

  ∴C(0,),

  y=﹣x2﹣x+=﹣(x+)2+,

  ∴D(﹣,),

  ∴DK=,CK=﹣=,

  ∴CD===;

  (2)在y=﹣x2﹣x+中,令y=0,则﹣x2﹣x+=0,

  解得:x1=﹣3,x2=,

  ∴A(﹣3,0),B(,0),

  ∵C(0,),

  易得直线AC的解析式为:y=,

  设E(x,),P(x,﹣x2﹣x+),

  ∴PF=﹣x2﹣x+,EF=,

  Rt△ACO中,AO=3,OC=,

  ∴AC=2,

  ∴∠CAO=30°,

  ∴AE=2EF=,

  ∴PE+EC=(﹣x2﹣x+)﹣(x+)+(AC﹣AE),

  =﹣﹣x+ [2﹣()],

  =﹣﹣x﹣x,

  =﹣(x+2)2+,(5分)

  ∴当PE+EC的值最大时,x=﹣2,此时P(﹣2,),(6分)

  ∴PC=2,

  ∵O1B1=OB=,

  ∴要使四边形PO1B1C周长的最小,即PO1+B1C的值最小,

  如图2,将点P向右平移个单位长度得点P1(﹣,),连接P1B1,则PO1=P1B1,

  再作点P1关于x轴的对称点P2(﹣,﹣),则P1B1=P2B1,

  ∴PO1+B1C=P2B1+B1C,

  ∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1,

  ∴B1(﹣,0),

  将B1向左平移个单位长度即得点O1,

  此时PO1+B1C=P2C==,

  对应的点O1的坐标为(﹣,0),(7分)

  ∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3;(8分)

  (3)O2M的长度为或或2+或2.(12分)

  理由是:如图3,∵H是AB的中点,

  ∴OH=,

  ∵OC=,

  ∴CH=BC=2,

  ∴∠HCO=∠BCO=30°,

  ∵∠ACO=60°,

  ∴将CO沿CH对折后落在直线AC上,即O2在AC上,

  ∴∠B2CA=∠CAB=30°,

  ∴B2C∥AB,

  ∴B2(﹣2,),

  ①如图4,AN=MN,

  ∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3,

  由旋转得:∠CB2C1=∠O2B2O3=30°,B2C=B2C1,

  ∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°,

  过C1作C1E⊥B2C于E,

  ∵B2C=B2C1=2,

  ∴=B2O2,B2E=,

  ∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1,

  ∠B2O2M=∠C1EC=90°,

  ∴△C1EC≌△B2O2M,

  ∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣;

  ②如图5,AM=MN,此时M与C重合,O2M=O2C=,

  ③如图6,AM=MN,

  ∵B2C=B2C1=2=B2H,即N和H、C1重合,

  ∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°,

  ∴O2M=AO2=;

  ④如图7,AN=MN,过C1作C1E⊥AC于E,

  ∴∠NMA=∠NAM=30°,

  ∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA,

  ∴C1B2∥AC,

  ∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°,

  ∵∠C1EC=90°,

  ∴四边形C1EO2B2是矩形,

  ∴EO2=C1B2=2,,

  ∴EM=,

  ∴O2M=EO2+EM=2+,

  综上所述,O2M的长是或或2+或2.

  九年级数学上册期中试题参考

  一.选择题(共10小题,满分30分)

  1.下面给出的是一些产品的图案,从几何图形的角度看,这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )

  A. B.

  C. D.

  2.点A(a,3)与点B(﹣4,b)关于原点对称,则a+b=(  )

  A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1

  3.用配方法方程x2+6x﹣5=0时,变形正确的方程为(  )

  A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+6)2=4 D.(x﹣6)2=4

  4.若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,则+的值是(  )

  A. B.﹣ C.﹣ D.

  5.将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为(  )

  A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5

  C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3

  6.在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)三点,若抛物线开口向下,则y1、y2和y3的大小关系为(  )

  A.y1

  7.设A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为(  )

  A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2

  8.如图,△ABC中,BC=8,AD是中线,将△ADC沿AD折叠至△ADC′,发现CD与折痕的夹角是60°,则点B到C′的距离是(  )

  A.4 B. C. D.3

  9.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,若设个位数字为a,则可列方程为(  )

  A.a2(a﹣4)2=10(a﹣4)+a﹣4

  B.a2+(a+4)2=10a+a﹣4﹣4

  C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4

  D.a2+(a﹣4)2=10a+(a﹣4)﹣4

  10.已知两点A(﹣5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点.若y1

  A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2

  二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)

  11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1,则a+b=   .

  12.如图,把△ABC绕C点顺时针旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于点D,若∠A′DC=90°,则∠A=   °.

  13.若二次函数y=(2﹣m)x|m|﹣3 的图象开口向下,则m的值为   .

  14.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有实数根,则实数k的取值范围为   .

  15.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:米)与小球运动时间t(单位:秒)的函数关系式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度为4.9米,则小球的运动时间为   .

  16.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ABE绕点A顺时针旋转90°后,得到△ACF,连接DF,下列结论中:①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正确的有   (填序号)

  三.解答题(共9小题,满分74分)

  17.解方程:x2﹣4x﹣5=0.

  18.如图,画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出点A1,B1,C1的坐标.

  19.淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病,牵动了全校师生的心,该校开展了“献爱心”捐款活动.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.

  (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;

  (2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该校能收到多少捐款?

  20.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E,F分别在边AB和BC上,△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形.

  (Ⅰ)旋转中心是点   .

  (Ⅱ)旋转角是   度,∠EDM=   度.

  (Ⅲ)若∠EDF=45°,求证△EDF≌△MDF,并求此时△BEF的周长.

  21.从甲、乙两题中选做一题.如果两题都做,只以甲题计分.

  题甲:若关于x一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有实数根a,β.

  (1)求实数k的取值范围;

  (2)设,求t的最小值.

  题乙:如图所示,在矩形ABCD中,P是BC边上一点,连接DP并延长,交AB的延长线于点Q.

  (1)若=,求的值;

  (2)若点P为BC边上的任意一点,求证:﹣=.

  我选做的是   题.

  22.小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=﹣10x+500,在销售过程中销售单价不低于成本价,而每件的利润不高于成本价的60%.

  (1)设小明每月获得利润为w(元),求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.

  (2)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?每月的最大利润是多少?

  (3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)

  23.(12分)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点.

  (1)抛物线与x轴的交点坐标为   ;

  (2)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=6,并求出此时P点的坐标.

  24.如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C.A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q,设P点移动的时间为t秒(0

  (1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;

  (2)求S与t的函数关系式;

  (3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

  25.已知:二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B,A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴是直线x=1,平移一个单位后经过坐标原点O

  (1)求这个二次函数的解析式;

  (2)直线交y轴于D点,E为抛物线顶点.若∠DBC=α,∠CBE=β,求α﹣β的值;

  (3)在(2)问的前提下,P为抛物线对称轴上一点,且满足PA=PC,在y轴右侧的抛物线上是否存在点M,使得△BDM的面积等于PA2?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

  参考答案

  一.选择题

  1.下面给出的是一些产品的图案,从几何图形的角度看,这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )

  A. B.

  C. D.

  【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;

  B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;

  C、是轴对称图形,也是中心对称图形;

  D、不是轴对称图形,是中心对称图形.

  故选:C.

  2.点A(a,3)与点B(﹣4,b)关于原点对称,则a+b=(  )

  A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1

  【解答】解:∵点A(a,3)与点B(﹣4,b)关于原点对称,

  ∴a=4,b=﹣3,

  ∴a+b=1,

  故选:D.

  3.用配方法方程x2+6x﹣5=0时,变形正确的方程为(  )

  A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+6)2=4 D.(x﹣6)2=4

  【解答】解:方程移项得:x2+6x=5,

  配方得:x2+6x+9=14,即(x+3)2=14,

  故选:A.

  4.若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,则+的值是(  )

  A. B.﹣ C.﹣ D.

  【解答】解:∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,

  ∴α+β=﹣,αβ=﹣3,

  ∴+====﹣.

  故选:C.

  5.将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为(  )

  A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5

  C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3

  【解答】解:y=x2﹣6x+21

  =(x2﹣12x)+21

  = [(x﹣6)2﹣36]+21

  =(x﹣6)2+3,

  故y=(x﹣6)2+3,向左平移2个单位后,

  得到新抛物线的解析式为:y=(x﹣4)2+3.

  故选:D.

  6.在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)三点,若抛物线开口向下,则y1、y2和y3的大小关系为(  )

  A.y1

  【解答】解:

  ∵A(﹣4,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)三点在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上,

  ∴y1=16a+8a﹣7=24a﹣7,y2=4a﹣4a﹣7=﹣7,y3=9a﹣6a﹣7=3a﹣7,

  ∵抛物线开口向下,

  ∴a<0,

  ∴24a<3a<0,

  ∴24a﹣7<3a﹣7<﹣7,

  ∴y1

  故选:A.

  7.设A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为(  )

  A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2

  【解答】解:

  ∵A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点,

  ∴y1=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+2=2,y2=﹣1﹣2+2=﹣1,y3=﹣22﹣2×2+2=﹣6,

  ∴y1>y2>y3,

  故选:A.

  8.如图,△ABC中,BC=8,AD是中线,将△ADC沿AD折叠至△ADC′,发现CD与折痕的夹角是60°,则点B到C′的距离是(  )

  A.4 B. C. D.3

  【解答】解:∵△ABC中,BC=8,AD是中线,

  ∴BD=DC=4,

  ∵将△ADC沿AD折叠至△ADC′,发现CD与折痕的夹角是60°,

  ∴∠C′DA=∠ADC=60°,DC=DC′,

  ∴∠C′DB=60°,

  ∴△BDC′是等边三角形,

  ∴BC′=BD=DC′=4.

  故选:A.

  9.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,若设个位数字为a,则可列方程为(  )

  A.a2(a﹣4)2=10(a﹣4)+a﹣4

  B.a2+(a+4)2=10a+a﹣4﹣4

  C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4

  D.a2+(a﹣4)2=10a+(a﹣4)﹣4

  【解答】解:依题意得:十位数字为:a+4,这个数为:a+10(x+4)

  这两个数的平方和为:a2+(a+4)2,

  ∵两数相差4,

  ∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4.

  故选:C.

  10.已知两点A(﹣5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点.若y1

  A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2

  【解答】解:∵点C(x0,y0)是该抛物线的顶点.且y1

  ∴a<0,x0﹣(﹣5)>|3﹣x0|,

  ∴x0>﹣1.

  故选:A.

  二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)

  11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1,则a+b= 2018 .

  【解答】解:把x=﹣1代入方程有:

  a+b﹣2018=0,

  即a+b=2018.

  故答案是:2018.

  12.如图,把△ABC绕C点顺时针旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于点D,若∠A′DC=90°,则∠A= 55 °.

  【解答】解:∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°,得到△AB′C′

  ∴∠ACA′=35°,∠A'DC=90°

  ∴∠A′=55°,

  ∵∠A的对应角是∠A′,即∠A=∠A′,

  ∴∠A=55°;

  故答案为:55°.

  13.若二次函数y=(2﹣m)x|m|﹣3 的图象开口向下,则m的值为 5 .

  【解答】解:

  ∵y=(2﹣m)x|m|﹣3 是二次函数,

  ∴|m|﹣3=2,解得m=5或m=﹣5,

  ∵抛物线图象开口向下,

  ∴2﹣m<0,解得m>2,

  ∴m=5,

  故答案为:5.

  14.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有实数根,则实数k的取值范围为 k≤4且k≠1 .

  【解答】解:∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有实数根,

  ∴,

  解得:k≤4且k≠1.

  故答案为:k≤4且k≠1.

  15.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:米)与小球运动时间t(单位:秒)的函数关系式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度为4.9米,则小球的运动时间为 1s .

  【解答】解:由题意知,

  小球的高度h与小球运动时间t的函数关系式是:

  h=9.8t﹣4.9t2.

  令h=4.9,

  解得t=1s,

  故答案为:1s.

  16.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ABE绕点A顺时针旋转90°后,得到△ACF,连接DF,下列结论中:①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正确的有 ①③④ (填序号)

  【解答】解:∵在Rt△ABC中,AB=AC, ]

  ∴∠B=∠ACB=45°,

  ①由旋转,可知:∠CAF=∠BAE,

  ∵∠BAD=90°,∠DAE=45°,

  ∴∠CAD+∠BAE=45°,

  ∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°,故①正确;

  ②由旋转,可知:△ABE≌△ACF,不能推出△ABE≌△ACD,故②错误;

  ③∵∠EAD=∠DAF=45°,

  ∴AD平分∠EAF,故③正确;

  ④由旋转可知:AE=AF,∠ACF=∠B=45°,

  ∵∠ACB=45°,

  ∴∠DCF=90°,

  由勾股定理得:CF2+CD2=DF2,

  即BE2+DC2=DF2,

  在△AED和△AFD中,

  ,

  ∴△AED≌△AFD(SAS),

  ∴DE=DF,

  ∴BE2+DC2=DE2,

  故答案为:①③④.

  三.解答题(共9小题,满分74分)

  17.(10分)解方程:x2﹣4x﹣5=0.

  【解答】解:(x+1)(x﹣5)=0,

  则x+1=0或x﹣5=0,

  ∴x=﹣1或x=5.

  18.(9分)如图,画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出点A1,B1,C1的坐标.

  【解答】解:如图所示,△A1B1C1即为所求,

  A1(3,﹣2),B1(2,1),C1(﹣2,﹣3).

  19.(9分)淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病,牵动了全校师生的心,该校开展了“献爱心”捐款活动.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.

  (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;

  (2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该校能收到多少捐款?

  【解答】解:(1)捐款增长率为x,根据题意得:

  10000(1+x)2=12100,

  解得:x1=0.1,x2=﹣2.1(舍去).

  则x=0.1=10%.

  答:捐款的增长率为10%.

  (2)根据题意得:12100×(1+10%)=13310(元),

  答:第四天该校能收到的捐款是13310元.

  20.(10分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E,F分别在边AB和BC上,△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形.

  (Ⅰ)旋转中心是点 D .

  (Ⅱ)旋转角是 90 度,∠EDM= 90 度.

  (Ⅲ)若∠EDF=45°,求证△EDF≌△MDF,并求此时△BEF的周长.

  【解答】解:(Ⅰ)∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形,

  ∴旋转中心是点D.

  故答案为D;

  (Ⅱ)∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形,

  ∴∠ADC=∠EDM=90°

  ∴旋转角是90度,∠EDM=90度.

  故答案为90,90;

  (Ⅲ)∵∠EDF=45°,∠EDM=90°,

  ∴∠MDF=45°.

  ∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形,

  ∴△DCM≌△DAE,

  ∴DM=DE,CM=AE.

  在△EDF与△MDF中,

  ,

  ∴△EDF≌△MDF,

  ∴EF=MF=MC+CF,

  ∴△BEF的周长=BE+EF+BF

  =BE+MC+CF+BF

  =(BE+AE)+(CF+BF)

  =AB+BC

  =2.

  21.(12分)从甲、乙两题中选做一题.如果两题都做,只以甲题计分.

  题甲:若关于x一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有实数根a,β.

  (1)求实数k的取值范围;

  (2)设,求t的最小值.

  题乙:如图所示,在矩形ABCD中,P是BC边上一点,连接DP并延长,交AB的延长线于点Q.

  (1)若=,求的值;

  (2)若点P为BC边上的任意一点,求证:﹣=.

  我选做的是 甲 题.

  【解答】题甲

  解:(1)∵一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有实数根a,β,

  ∴△≥0,

  即4(2﹣k)2﹣4(k2+12)≥0,

  得k≤﹣2.

  (2)由根与系数的关系得:a+β=﹣[﹣2(2﹣k)]=4﹣2k,

  ∴,

  ∵k≤﹣2,

  ∴﹣2≤<0,

  ∴,

  即t的最小值为﹣4.

  题乙:

  (1)解:∵AB∥CD,∴==,即CD=3BQ,

  ∴===;

  (2)证明:四边形ABCD是矩形

  ∵AB=CD,AB∥DC

  ∴△DPC∽△QPB

  ∴=

  ﹣=﹣=1+﹣=1

  ∴﹣=1.

  22.(12分)小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=﹣10x+500,在销售过程中销售单价不低于成本价,而每件的利润不高于成本价的60%.

  (1)设小明每月获得利润为w(元),求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.

  (2)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?每月的最大利润是多少?

  (3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)

  【解答】解:(1)由题意,得:w=(x﹣20)•y=(x﹣20)•(﹣10x+500)=﹣10x2+700x﹣10000,即w=﹣10x2+700x﹣10000(20≤x≤32)

  (2)对于函数w=﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线.

  又∵a=﹣10<0,抛物线开口向下.∴当20≤x≤32时,W随着X的增大而增大,

  ∴当x=32时,W=2160

  答:当销售单价定为32元时,每月可获得最大利润,最大利润是2160元.

  (3)取W=2000得,﹣10x2+700x﹣10000=2000

  解这个方程得:x1=30,x2=40.

  ∵a=﹣10<0,抛物线开口向下.

  ∴当30≤x≤40时,w≥2000.

  ∵20≤x≤32

  ∴当30≤x≤32时,w≥2000.

  设每月的成本为P(元),由题意,得:P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000

  ∵k=﹣200<0,

  ∴P随x的增大而减小.

  ∴当x=32时,P的值最小,P最小值=3600.

  答:想要每月获得的利润不低于2000元,小明每月的成本最少为3600元.

  23.(12分)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点.

  (1)抛物线与x轴的交点坐标为 (﹣1,0)或(3,0) ;

  (2)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=6,并求出此时P点的坐标.

  【解答】解:(1)当y=0时,

  x2﹣2x﹣3=0,

  解得,x1=﹣1,x2=3,

  ∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0)或(3,0),

  故答案为:(﹣1,0)或(3,0);

  (2)∵点A(﹣1,0),点B(3,0),y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

  ∴此抛物线有最小值,此时y=﹣4,AB=3﹣(﹣1)=4,

  ∵S△PAB=6,抛物线上有一个动点P,

  ∴点P的纵坐标的绝对值为:,

  ∴x2﹣2x﹣3=3或x2﹣2x﹣3=﹣3,

  解得,x1=1+,x2=1﹣,x3=0,x4=2,

  ∴点P的坐标为(1+,3)、(1﹣,3)、(0,﹣3)、(2,﹣3).

  24.如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C.A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q,设P点移动的时间为t秒(0

  (1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;

  (2)求S与t的函数关系式;

  (3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

  【解答】解:(1)解法一:由图象可知:抛物线经过原点,

  设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0).

  把A(1,1),B(3,1)代入上式得,

  解得,

  ∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x;

  解法二:∵A(1,1),B(3,1),∴抛物线的对称轴是直线x=2.

  设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+h(a≠0),

  把O(0,0),A(1,1)代入得

  解得∴所求抛物线解析式为:y=﹣(x﹣2)2+.

  (2)分三种情况:

  ①当0

  ∵A(1,1),在Rt△OAF中,AF=OF=1,∠AOF=45°,

  在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°,

  ∴PQ=OQ=tcos45°=t,

  ∴S=(t)2=t2.

  ②当2

  作GH⊥x轴于点H,∠OPQ=∠QOP=45°,则四边形OAGP是等腰梯形,

  重叠部分的面积是S梯形OAGP.

  ∴AG=FH=t﹣2,

  ∴S=(AG+OP)AF=(t+t﹣2)×1=t﹣1.

  ③当3

  重叠部分的面积是S五边形OAMNC.

  因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形,

  所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN.

  ∵B(3,1),OP=t,

  ∴PC=CN=t﹣3,

  ∴BM=BN=1﹣(t﹣3)=4﹣t,

  ∴S=(2+3)×1﹣(4﹣t)2 S=﹣t2+4t﹣;

  (3)存在t1=1,t2=2.

  将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,此时Q(t+,),O(t,t)

  ①当点Q在抛物线上时, =×(t+)2+×(t+),解得t=2;

  ②当点O在抛物线上时,t=﹣t2+t,解得t=1.

  25.已知:二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B,A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴是直线x=1,平移一个单位后经过坐标原点O

  (1)求这个二次函数的解析式;

  (2)直线交y轴于D点,E为抛物线顶点.若∠DBC=α,∠CBE=β,求α﹣β的值;

  (3)在(2)问的前提下,P为抛物线对称轴上一点,且满足PA=PC,在y轴右侧的抛物线上是否存在点M,使得△BDM的面积等于PA2?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

  【解答】解:(1)由题意,A(﹣1,0),

  ∵对称轴是直线x=1,

  ∴B(3,0);(1分)

  把A(﹣1,0),B(3,0)分别代入y=ax2﹣2x+c

  得;(2分)

  解得.

  ∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3.

  (2)∵直线与y轴交于D(0,1),

  ∴OD=1,

  由y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4得E(1,﹣4);

  连接CE,过E作EF⊥y轴于F(如图1),则EF=1,

  ∴OC=OB=3,CF=1=EF,

  ∴∠OBC=∠OCB=∠45°,

  BC==,

  ;

  ∴∠BCE=90°=∠BOD,,

  ,

  ∴,

  ∴△BOD∽△BCE,(6分)

  ∴∠CBE=∠DBO,

  ∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°.(7分)

  (3)设P(1,n),

  ∵PA=PC,

  ∴PA2=PC2,即(1+1)2+(n﹣0)2=(1+0)2+(n+3)2

  解得n=﹣1,

  ∴PA2=(1+1)2+(﹣1﹣0)2=5,

  ∴S△EDW=PA2=5;(8分)

  法一:设存在符合条件的点M(m,m2﹣2m﹣3),则m>0,

  ①当M在直线BD上侧时,连接OM(如图1),

  则S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5,

  即,

  ,

  整理,得3m2﹣5m﹣22=0,

  解得m1=﹣2(舍去),,

  把代入y=m2﹣2m﹣3得;

  ∴;(10分)

  ②当M在直线BD下侧时,不妨叫M1,连接OM1(如图1),

  则S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5,

  即,

  ,

  整理,得3m2﹣5m﹣2=0,

  解得,(舍去)

  把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3,

  ∴M1(2,﹣3);

  综上所述,存在符合条件的点M,其坐标为或(2,﹣3).(12分)

  法二:设存在符合条件的点M(m,m2﹣2m﹣3),则m>0,

  ①当M在直线BD上侧时,过M作MG∥y轴,

  交DB于G;(如图2)

  设D、B到MG距离分别为h1,h2,则

  S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5,

  即,

  整理,得3m2﹣5m﹣22=0;

  解得m1=﹣2(舍去),;

  把代入y=m2﹣2m﹣3

  得;

  ∴.(10分)

  ②当M在直线BD下侧时,不妨叫M1,过M1作M1G1∥y轴,交DB于G1(如图2)

  设D、B到M1G1距离分别为h1、h2,则S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5,

  即,

  ,

  ,

  整理,得3m2﹣5m﹣2=0,

  解得,(舍去)

  把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3,

  ∴M1(2,﹣3);

  综上所述,存在符合条件的点M,其坐标为或(2,﹣3).(12分)

  法三:①当M在直线BD上侧时,过M作MH∥BD,交y轴于H,连接BH;(如图3)

  则S△DHB=S△BDM=5,

  即,,

  ∴DH=,

  ∴;

  ∴直线MH解析式为;

  联立

  得或;

  ∵M在y轴右侧,

  ∴M坐标为.(10分)

  ②当M在直线BD下侧时,不妨叫M1,过M1作M1H1∥BD,交y轴于H1,

  连接BH1(如图3),同理可得,

  ∴,

  ∴直线M1H1解析式为,

  联立

  得或;

  ∵M1在y轴右侧,

  ∴M1坐标为(2,﹣3)

  综上所述,存在符合条件的点M,其坐标为或(2,﹣3).(12分)

相关阅读
最新文章
上学期初三年级期中考试试题

上学期初三年级期中考试试题

不好好学习数学,在中考怎么取的好的成绩哦,今天小编就给大家参考一下九年级数学,有需要的就来看看吧  初三年 ...

箐箐学习网 Copyright@ 2016-2019 www.gongqing.cn
本站资料均来源互联网收集整理,作品版权归作者所有,如果侵犯了您的版权,请跟我们联系。联系邮箱:
网站备案号 : 粤ICP备17024501号-2 鄂公网安备 888888-000000号

关注微信