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初三数学上学期期中试卷

时间:2019-06-02

  中考考好了才能上一个好的高中哦,今天小编就给大家参考一下九年级数学,希望大家来学习一下哦

  关于九年级数学上学期期中模拟试卷

  一.选择题(共10小题,满分30分)

  1.(3分)将代数式x2﹣10x+5配方后,发现它的最小值为(  )

  A.﹣30 B.﹣20 C.﹣5 D.0

  2.(3分)下列图形,既是轴对称又是中心对称图形的是(  )

  A. B. C. D.

  3.(3分)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是(  )

  A.4 B.5 C.6 D.6

  4.(3分)一个等腰三角形的 两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是(  )

  A.12 B.9 C.13 D.12或9

  5.(3分)下列关于二次函数y=﹣2(x﹣2)2+1图象的叙述,其中错误的是(  )

  A.开口向下

  B.对称轴是直线x=2

  C.此函数有最小值是1

  D.当x>2时,函数y随x增大而减小

  6.(3分)宾馆有50间房供游客居住,当毎间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当毎间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10890元? 设房价定为x元.则有(  )

  A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890

  B.(x﹣20)(50﹣ )=10890

  C.x(50﹣ )﹣50×20=10890

  D.(x+180)(50﹣ )﹣50×20=10890

  7.(3分)把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=4,CD=5.把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图2),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长度为(  )

  A. B. C. D.4

  8.(3分)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是(  )

  A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同

  B.点火 后24s火箭落于地面

  C.点火后10s的升空高度为139m

  D.火箭升空的最大高度为145m

  9.(3分)抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过A(4,4),B(2,m)两点,点B到抛物线对称轴的距离记为 d,满足0

  A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2

  10.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列5个结论:

  ①abc<0;②3a+c>0;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤b2>4ac.

  其中正确的结论的有(  )

  A.2个 B.3个 C.4个 D .5个

  二.填空题(共5小题,满分15分,每小题3分)

  11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2015的值为   .

  12.(3分)方程x(x+1)=2(x+1)的解是   .

  13.(3分)如图,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD的度数是   .

  14.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:

  x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …

  y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …

  则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是   .

  15.(3分)如图,线段AB=10,点P在线段AB上,在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF,点M、N分别是EF、CD的中点,则MN的最小值是   .

  三.解答题(共7小题,满分55分)

  16.(8分)解下列方程:

  (1)x(x+5)=14;

  (2)x2﹣2x﹣2=0

  17.(6分)如图,AB是⊙O的直径,C、D两点在⊙O上,若∠C=45°,

  (1)求∠ABD的度数;

  (2)若∠CDB=30°,BC=3,求⊙O的半径.

  18.(7分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).

  (1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;

  (2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2;

  (3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π);

  (4)求出(2)△A2BC2的面积是多少.

  19.(8分)今年深圳“读书月”期间,某书店将每本成本为30元的一批图书,以40元的单价出售时,每天的销售量是300本.已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下,若每本涨价1元,则每天就会少售出10本,设每本书上涨了x元.请解答以下问题:

  (1)填空:每天可售出书   本(用含x的代数式表示);

  (2)若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润,应涨价多少元?

  20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣2)x+(m2﹣2m)=0.

  (1)求证:方程有两个不相等的实数根.

  (2)如果方程的两实数根为x1,x2,且x12+x2 2=10,求m的值.

  21.(9分)某企业信息部进行市场调研发现:

  信息一:如果单独投资A种产品,所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表:

  x(万元) 1 2 2.5 3 5

  yA(万元) 0.4 0.8 1 1.2 2

  信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系:yB=ax2+bx,且投资2万元时获利润2.4万元,当投资4万元时,可获利润3.2万元.

  (1)求出yB与x的函数关系式;

  (2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系,并求出yA与x的函数关系式;

  (3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元,请设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少?

  22.(9分)如图,抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.

  (1)求抛物线的函数表达式.

  (2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值? 最大值是多少?

  (3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.

  参考答案

  一.选择题

  1.B.

  2.C.

  3.D.

  4.A.

  5.C.

  6.B.

  7.A.

  8.D.

  9.B.

  10.C.

  二.填空题

  11 .2018

  12.x1=2,x2=﹣1.

  13.32°.

  14.x1=﹣4,x2=0.

  15.5.

  三.解答题

  16.解:(1)x2+5x﹣14=0,

  (x+7)(x﹣2)=0,

  x+7=0或x﹣2=0,

  所以x1=﹣7,x2=2;

  (2)x2﹣2x=2,

  x2﹣2x+1=3,

  (x﹣1)2=3,

  x﹣1=± ,

  所以x1=1+ ,x2=1﹣ .

  17.解:(1)∵∠C=45°,

  ∴∠A=∠C=45°,

  ∵AB是⊙O的直径,

  ∴∠ADB=90°,

  ∴∠ABD=45°;

  (2)连接AC,

  ∵AB是⊙O的直径,

  ∴∠ACB=90°,

  ∵∠CAB=∠CDB=30°,BC=3,

  ∴AB=6,

  ∴⊙O的半径为3.

  18.]解:(1)如图,△A1B1C1为所作,点A1的坐标为(2,﹣4);

  (2)如图,△A2BC2为所作;

  (3)BC= = ,

  所以C点旋转到C2点所经过的路径长= = π;

  (4)△A2BC2的面积=3×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×3= .

  19.

  【解答】解:(1)∵每本书上涨了x元,

  ∴每天可售出书(300﹣10x)本.

  故答案为:(300﹣10x).

  (2)设每本书上涨了x元(x≤10),

  根据题意得:(40﹣30+x)(300﹣10x)=3750,

  整理,得:x2﹣20x+75=0,

  解得:x1=5,x2=15(不合题意,舍去).

  答:若书店想每天获得3750元的利润,每本书应涨价5元.

  20.

  【解答】解:(1)由题意可知:△=(2m﹣2)2﹣4(m2﹣2m)

  =4>0,

  ∴方程有两个不相等的实数根.

  (2)∵x1+x2=2m﹣2,x1x2=m2﹣2m,

  ∴ + =(x1+x2)2﹣2x1x2=10,

  ∴(2m﹣2)2﹣2(m2﹣2m)=10,

  ∴m2﹣2m﹣3=0,

  ∴m=﹣1或m=3

  21.

  【解答】解:(1)由题意得,将坐标(2,2.4)(4,3.2)代入函数关系式yB=ax2+bx,

  求解得:

  ∴yB与x的函数关系式:yB=﹣0.2x2+1.6x

  (2)根据表格中对应的关系可以确定为一次函数,

  故设函数关系式yA=kx+b,将(1,0.4)(2,0.8)代入得: ,]

  解得: ,

  则yA=0.4x;

  (3)设投资B产品x万元,投资A产品(15﹣x)万元,总利润为W万元,

  W=﹣0.2x2+1.6x+0.4(15﹣x)=﹣0.2(x﹣3)2+7.8

  即当投资B3万元,A12万元时所获总利润最大,为7.8万元.

  22.

  【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=ax(x﹣10),

  ∵当t=2时,AD=4,

  ∴点D的坐标为(2,4),

  ∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4,

  解得:a=﹣ ,

  抛物线的函数表达式为y=﹣ x2+ x;

  (2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,

  ∴AB=10﹣2t,

  当x=t时,AD=﹣ t2+ t,

  ∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)

  =2[(10﹣2t)+(﹣ t2+ t)]

  =﹣ t2+t+20

  =﹣ (t﹣1)2+ ,

  ∵﹣ <0,

  ∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为 ;

  (3)如图,

  当t=2时,点A、B、C、D的坐标分别为(2,0)、(8,0)、(8,4)、(2,4),

  ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5,2),

  当平移后的抛物线过点A时,点H的坐标为(4,4),此时GH不能将矩形面积平分;

  当平移后的抛物线过点C时,点G的坐标为(6,0),此时GH也不能将矩形面积平分;

  ∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时,直线GH不可能将矩形的面积平分,

  当点G、H分别落在线段AB、DC上时,直线GH过点P,必平分矩形ABCD的面积,

  ∵AB∥CD,

  ∴线段OD平移后得到的线段GH,

  ∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P,

  在△OBD中,PQ是中位线,

  ∴PQ= OB=4,

  所以抛物线向右平移的距离是4个单位.

  九年级数学上学期期中试题阅读

  一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)

  1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3时,原方程可化为(  )

  A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0

  2.随机掷一枚均匀的硬币两次,两次正面都朝上的概率是(  )

  A. B. C. D.1

  3.下列各组线段中是成比例线段的是(  )

  A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,2cm,4cm

  C.3cm,5cm,9cm,13cm D.1cm,2cm,2cm,3cm

  4.关于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值是(  )

  A.0 B.8 C.4 D.0或8

  5.如图,三角形ABC中,D、E、F分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB,AD:DB=1:2,BC=30cm,则FC的长为(  )

  A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm

  6.x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根,则此方程的另一个根是(  )

  A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4

  7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根,则x1+x2,x1x2的值分别为(  )

  A.﹣2,3 B.2,3 C.3,﹣2 D.﹣2,﹣3

  8.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,如果AD=2cm,DB=1cm,AE=1.8cm,则EC=(  )

  A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm

  9.一件商品的原价是100元,经过两次提价后的价格为121元,如果每次提价的百分率都是x,根据题意,下面列出的方程正确的是(  )

  A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121

  10.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE= AC,连接CE、OE,连接AE,交OD于点F.若AB=2,∠ABC=60°,则AE的长为(  )

  A. B. C. D.

  二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)

  11.方程(x﹣2)2=9的解是  .

  12.边长为5cm的菱形,一条对角线长是6cm,则菱形的面积是  cm2.

  13.如果线段a,b,c,d成比例,且a=5,b=6,c=3,则d=  .

  14.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,则∠AOB的度数为  .

  15.x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程,则a所满足的条件是  .

  16.如图,已知正方形ABCD的对角线长为2 ,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为  .

  三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)

  17.解方程x(x﹣1)=2.

  18.解方程:x2﹣2x=2x+1.

  19.如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE= BC,连接DE,CF.求证:四边形CEDF是平行四边形.

  四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)

  20.(7分)已知:如图,在菱形ABCD中,分别延长AB、AD到E、F,使得BE=DF,连接EC、FC.

  求证:EC=FC.

  21.(7分)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的减价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降1元,商场平均每天可多售出5件.若商场平均每天要盈利1600元,每件衬衫应降价多少元?这时应进货多少件?

  22.(7分)一只箱子里共3个球,其中2个白球,1个红球,它们除颜色外均相同.

  (1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少?

  (2)从箱子中任意摸出一个球,不将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出的球都是白球的概率,并画出树状图或列出表格.

  五、解答题(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)

  23.(9分)如图,在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO,将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上,记为B',折痕为CE.直线CE的关系式是y=﹣ x+8,与x轴相交于点F,且AE=3.

  (1)求OC长度;

  (2)求点B'的坐标;

  (3)求矩形ABCO的面积.

  24.(9分)如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.

  (1)求证:△ABM∽△EFA;

  (2)若AB=12,BM=5,求DE的长.

  25.(9分)如图,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB向点B移动(不与点A、B重合),一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与点C、D重合).运动时间设为t秒.

  (1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动,则:AP=  cm;QC=  cm.(用含t的代数式表示)

  (2)若点P为3cm/s的速度移动,点Q以2cm/s的速度移动,经过多长时间PD=PQ,使△DPQ为等腰三角形?

  (3)若点P、Q均以3cm/s的速度移动,经过多长时间,四边形BPDQ为菱形?

  九年级(上)期中数学试卷

  参考答案与试题解析

  一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)

  1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3时,原方程可化为(  )

  A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0

  【考点】解一元二次方程-因式分解法.

  【分析】先移项,再分解因式,即可得出选项.

  【解答】解:x(x﹣3)=x﹣3,

  x(x﹣3)﹣(x﹣3)=0,

  (x﹣3(x﹣1)=0,

  故选A.

  【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能正确分解因式是解此题的关键.

  2.随机掷一枚均匀的硬币两次,两次正面都朝上的概率是(  )

  A. B. C. D.1

  【考点】列表法与树状图法.

  【分析】首先利用列举法,列得所有等可能的结果,然后根据概率公式即可求得答案.

  【解答】解:随机掷一枚均匀的硬币两次,

  可能的结果有:正正,正反,反正,反反,

  ∴两次正面都朝上的概率是 .

  故选A.

  【点评】此题考查了列举法求概率的知识.解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

  3.下列各组线段中是成比例线段的是(  )

  A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,2cm,4cm

  C.3cm,5cm,9cm,13cm D.1cm,2cm,2cm,3cm

  【考点】比例线段.

  【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积,然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论.

  【解答】解:∵1×4≠2×3,

  ∴选项A不成比例;

  ∵1×4=2×2,

  ∴选项B成比例;

  ∵3×13≠5×9,

  ∴选项C不成比例;

  ∵3×1≠2×2,

  ∴选项D不成比例

  故选B.

  【点评】本题考查了比例线段:判定四条线段是否成比例,只要把四条线段按大小顺序排列好,判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可,求线段之比时,要先统一线段的长度单位,最后的结果与所选取的单位无关系.

  4.关于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值是(  )

  A.0 B.8 C.4 D.0或8

  【考点】根的判别式.

  【分析】根据方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根可得△=0,即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0,解方程即可得m的值.

  【解答】解:∵方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根,

  ∴△=0,即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0,

  解得:m=0或m=8,

  故选:D.

  【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识.此题比较简单,注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.

  5.如图,三角形ABC中,D、E、F分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB,AD:DB=1:2,BC=30cm,则FC的长为(  )

  A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm

  【考点】平行线分线段成比例.

  【分析】先由DE∥BC,EF∥AB得出四边形BDEF是平行四边形,那么BF=DE.再由AD:DB=1:2,得出AD:AB=1:3.由DE∥BC,根据平行线分线段成比例定理得出DE:BC=AD:AB=1:3,将BC=30cm代入求出DE的长,即可得FC的长.

  【解答】解:∵DE∥BC,EF∥AB,

  ∴四边形BDEF是平行四边形,

  ∴BF=DE.

  ∵AD:DB=1:2,

  ∴AD:AB=1:3.

  ∵DE∥BC,

  ∴DE:BC=AD:AB=1:3,即DE:30=1:3,

  ∴DE=10,

  ∴BF=10.

  故FC的长为20cm.

  故选B

  【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理,平行四边形的判定与性质,比例的性质,难度不大,得出BF=DE,从而利用转化思想是解题的关键.

  6.x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根,则此方程的另一个根是(  )

  A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4

  【考点】根与系数的关系.

  【分析】由于该方程的一次项系数是未知数,所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算.

  【解答】解:设方程的另一根为x1,

  由根据根与系数的关系可得:x1•1=﹣5,

  ∴x1=﹣5.

  故选:B.

  【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x1,x2,则x1+x2=﹣ ,x1•x2= .

  7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根,则x1+x2,x1x2的值分别为(  )

  A.﹣2,3 B.2,3 C.3,﹣2 D.﹣2,﹣3

  【考点】根与系数的关系.

  【分析】直接根据根与系数的关系求解.

  【解答】解:根据题意得x1+x2= =﹣2; x1x2= ﹣3.

  故选D.

  【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系,关键是掌握x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2= ,x1x2= .

  8.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,如果AD=2cm,DB=1cm,AE=1.8cm,则EC=(  )

  A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm

  【考点】平行线分线段成比例.

  【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 = ,然后利用比例性质求EC的长.

  【解答】解:∵DE∥BC,

  ∴ = ,即 = ,

  ∴EC=0.9(cm).

  故选A.

  【点评】本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

  9.一件商品的原价是100元,经过两次提价后的价格为121元,如果每次提价的百分率都是x,根据题意,下面列出的方程正确的是(  )

  A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121

  【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

  【分析】设平均每次提价的百分率为x,根据原价为100元,表示出第一次提价后的价钱为100(1+x)元,然后再根据价钱为100(1+x)元,表示出第二次提价的价钱为100(1+x)2元,根据两次提价后的价钱为121元,列出关于x的方程.

  【解答】解:设平均每次提价的百分率为x,

  根据题意得:100(1+x)2=121,

  故选C.

  【点评】此题考查了一元二次方程的应用,属于平均增长率问题,一般情况下,假设基数为a,平均增长率为x,增长的次数为n(一般情况下为2),增长后的量为b,则有表达式a(1+x)n=b,类似的还有平均降低率问题,注意区分“增”与“减”.

  10.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE= AC,连接CE、OE,连接AE,交OD于点F.若AB=2,∠ABC=60°,则AE的长为(  )

  A. B. C. D.

  【考点】菱形的性质.

  【分析】先求出四边形OCED是平行四边形,再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°,证明四边形OCED是矩形,再根据菱形的性质得出AC=AB,再根据勾股定理得出AE的长度即可.

  【解答】解:在菱形ABCD中,OC= AC,AC⊥BD,

  ∴DE=OC,

  ∵DE∥AC,

  ∴四边形OCED是平行四边形,

  ∵AC⊥BD,

  ∴平行四边形OCED是矩形,

  ∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,

  ∴△ABC为等边三角形,

  ∴AD=AB=AC=2,OA= AC=1,

  在矩形OCED中,由勾股定理得:CE=OD= = = ,

  在Rt△ACE中,由勾股定理得:AE= = = ;

  故选:C.

  【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质,证明四边形是矩形是解决问题的关键.

  二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)

  11.方程(x﹣2)2=9的解是 5或﹣1 .

  【考点】解一元二次方程-直接开平方法.

  【分析】观察方程后发现,左边是一个完全平方式,右边是3的平方,即x﹣2=±3,解两个一元一次方程即可.

  【解答】解:开方得x﹣2=±3即:

  当x﹣2=3时,x1=5;

  当x﹣2=﹣3时,x2=﹣1.

  故答案为:5或﹣1.

  【点评】本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数,根据法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解.

  12.边长为5cm的菱形,一条对角线长是6cm,则菱形的面积是 24 cm2.

  【考点】菱形的性质.

  【分析】根据菱形对角线垂直且互相平分,即可得出菱形的另一条对角线的长,再利用菱形的面积公式求出即可.

  【解答】解:如图所示:设BD=6cm,AD=5cm,

  ∴BO=DO=3cm,

  ∴AO=CO= =4(cm),

  ∴AC=8cm,

  ∴菱形的面积是: ×6×8=24(cm2).

  故答案为:24.

  【点评】此题主要考查了菱形的性质,熟练掌握菱形的面积公式以及对角线之间的关系是解题关键.

  13.如果线段a,b,c,d成比例,且a=5,b=6,c=3,则d= 3.6 .

  【考点】比例线段.

  【分析】根据比例线段的定义,即可列出方程求解.

  【解答】解:根据题意得: = ,即 = ,

  解得:d=3.6.

  故答案为3.6.

  【点评】本题考查了比例线段的定义,注意a、b、c、d是成比例线段即 = ,要理解各个字母的顺序.

  14.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,则∠AOB的度数为 60° .

  【考点】矩形的性质.

  【分析】由矩形的性质和已知条件证得△OAB是等边三角形,继而求得∠AOB的度数.

  【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,

  ∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,

  ∴OA=OB,

  ∵ED=3BE,

  ∴BE:OB=1:2,

  ∵AE⊥BD,

  ∴AB=OA,

  ∴OA=AB=OB,

  即△OAB是等边三角形,

  ∴∠AOB=60°;

  故答案为:60°.

  【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质.熟练掌握矩形的性质,证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键.

  15.(a+2)x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程,则a所满足的条件是 a≠﹣2 .

  【考点】一元二次方程的定义.

  【分析】根据一元二次方程的定义得出a+2≠0,求出即可.

  【解答】解:∵(a+2)x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程,

  ∴a+2≠0,

  ∴a≠﹣2.

  故答案为:a≠﹣2.

  【点评】本题考查了一元二次方程的定义,注意:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a b c都是常数,且a≠0).

  16.如图,已知正方形ABCD的对角线长为2 ,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为 8 .

  【考点】翻折变换(折叠问题).

  【分析】先设正方形的边长为a,再根据对角线长为2 求出a的值,由图形翻折变换的性质可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG,由阴影部分的周长=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出结论.

  【解答】解:设正方形的边长为a,则2a2=(2 )2,解得a=2,

  翻折变换的性质可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG,

  阴影部分的周长=A′B′+(A′H+BH)+BC+(CG+B′G)=AD+AB+BC+CD=2×4=8.

  故答案为:8.

  【点评】本题考查的是翻折变换的性质,即折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.

  三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)

  17.解方程x(x﹣1)=2.

  【考点】解一元二次方程-因式分解法.

  【分析】首先将原方程变形化为一般式,然后利用因式分解法即可求得此方程的根.

  【解答】解:∵x(x﹣1)=2,

  ∴x2﹣x﹣2=0,

  ∴(x﹣2)(x+1)=0,

  即x﹣2=0或x+1=0,

  ∴x=2或x=﹣1,

  ∴原方程的根为:x1=2,x2=﹣1.

  【点评】此题考查了一元二次方程的解法.注意在利用因式分解法解一元二次方程时,需首先将原方程化为一般式再求解.

  18.解方程:x2﹣2x=2x+1.

  【考点】解一元二次方程-配方法.

  【分析】先移项,把2x移到等号的左边,再合并同类项,最后配方,方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解.

  【解答】解:∵x2﹣2x=2x+1,

  ∴x2﹣4x=1,

  ∴x2﹣4x+4=1+4,

  (x﹣2)2=5,

  ∴x﹣2=± ,

  ∴x1=2+ ,x2=2﹣ .

  【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方;(4)选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

  19.如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE= BC,连接DE,CF.求证:四边形CEDF是平行四边形.

  【考点】平行四边形的判定与性质.

  【分析】由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC,且AD=BC;然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等(DF=CE,且DF∥CE),即四边形CEDF是平行四边形.

  【解答】证明:如图,在▱ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.

  ∵F是AD的中点,

  ∴DF= .

  又∵CE= BC,

  ∴DF=CE,且DF∥CE,

  ∴四边形CEDF是平行四边形.

  【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

  四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)

  20.已知:如图,在菱形ABCD中,分别延长AB、AD到E、F,使得BE=DF,连接EC、FC.

  求证:EC=FC.

  【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质.

  【分析】要证EC=FC,只要证明三角形BCE和DCF全等即可,两三角形中已知的条件有BE=DF,CB=CD,那么只要证得两组对应边的夹角相等即可得出结论,根据四边形ABCD是菱形我们可得出∠ABC=∠ADC,因此∠EBC=∠FDC.这样就构成了三角形全等的条件.因此两个三角形就全等了.

  【解答】证明:∵四边形ABCD是菱形,

  ∴BC=DC,∠ABC=∠ADC,

  ∴∠EBC=∠FDC.

  在△EBC和△FDC中, ,

  ∴△EBC≌△FDC(SAS),

  ∴EC=FC.

  【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定,求简单的线段相等,可以通过全等三角形来证明,要注意利用此题中的图形条件,如等角的补角相等.

  21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的减价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降1元,商场平均每天可多售出5件.若商场平均每天要盈利1600元,每件衬衫应降价多少元?这时应进货多少件?

  【考点】一元二次方程的应用.

  【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.

  【解答】解:设每件衬衫应降价x元.

  根据题意,得 (44﹣x)(20+5x)=1600,

  解得x1=4,x2=36.

  ∵“扩大销售量,减少库存”,

  ∴x1=4应略去,

  ∴x=36.

  20+5x=200.

  答:每件衬衫应降价36元,进货200件.

  【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,利用基本数量关系:平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.

  22.一只箱子里共3个球,其中2个白球,1个红球,它们除颜色外均相同.

  (1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少?

  (2)从箱子中任意摸出一个球,不将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出的球都是白球的概率,并画出树状图或列出表格.

  【考点】列表法与树状图法.

  【分析】(1)直接利用概率公式求解;

  (2)画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出两次摸出的球都是白球的结果数,然后根据概率公式求解.

  【解答】解:(1)因为箱子里共3个球,其中2个白球,所以从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是 ;

  (2)画树状图为:

  共有6种等可能的结果数,其中两次摸出的球都是白球的结果数为2,

  所以两次摸出的球都是白球的概率= = .

  【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

  五、解答题(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)

  23.如图,在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO,将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上,记为B',折痕为CE.直线CE的关系式是y=﹣ x+8,与x轴相交于点F,且AE=3.

  (1)求OC长度;

  (2)求点B'的坐标;

  (3)求矩形ABCO的面积.

  【考点】一次函数综合题.

  【分析】(1)在直线y=﹣ x+8中令x=0可求得C点坐标,则可求得OC长度;

  (2)由折叠的性质可求得B′E,在Rt△AB′E中,可求得AB′,再由点E在直线CF上,可求得E点坐标,则可求得OA长,利用线段和差可求得OB′,则可求得点B′的坐标;

  (3)由(1)、(2)可求得OC和OA,可求得矩形ABCO的面积.

  【解答】解:

  (1)∵直线y=﹣ x+8与y轴交于点为C,

  ∴令x=0,则y=8,

  ∴点C坐标为(0,8),

  ∴OC=8;

  (2)在矩形OABC中,AB=OC=8,∠A=90°,

  ∵AE=3,

  ∴BE=AB﹣BE=8﹣3=5,

  ∵是△CBE沿CE翻折得到的,

  ∴EB′=BE=5,

  在Rt△AB′E中,AB′= = =4,

  由点E在直线y=﹣ x+8上,设E(a,3),

  则有3=﹣ a+8,解得a=10,

  ∴OA=10,

  ∴OB′=OA﹣AB′=10﹣4=6,

  ∴点B′的坐标为(0,6);

  (3)由(1),(2)知OC=8,OA=10,

  ∴矩形ABCO的面积为OC×OA=8×10=80.

  【点评】本题为一次函数的综合应用,涉及直线与坐标轴的交点、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质及方程思想等知识点.在(1)中注意求与坐标轴交点的方法,在(2)中求得E点坐标是解题的关键.本题涉及知识点不多,综合性不强,难度不大,较容易得分.

  24.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.

  (1)求证:△ABM∽△EFA;

  (2)若AB=12,BM=5,求DE的长.

  【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质.

  【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE,即可得出结论;

  (2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DE的长.

  【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

  ∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,

  ∴∠AMB=∠EAF,

  又∵EF⊥AM,

  ∴∠AFE=90°,

  ∴∠B=∠AFE,

  ∴△ABM∽△EFA;

  (2)解:∵∠B=90°,AB=12,BM=5,

  ∴AM= =13,AD=12,

  ∵F是AM的中点,

  ∴AF= AM=6.5,

  ∵△ABM∽△EFA,

  ∴ ,

  即 ,

  ∴AE=16.9,

  ∴DE=AE﹣AD=4.9.

  【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.

  25.如图,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB向点B移动(不与点A、B重合),一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与点C、D重合).运动时间设为t秒.

  (1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动,则:AP= 3t cm;QC= 3t cm.(用含t的代数式表示)

  (2)若点P为3cm/s的速度移动,点Q以2cm/s的速度移动,经过多长时间PD=PQ,使△DPQ为等腰三角形?

  (3)若点P、Q均以3cm/s的速度移动,经过多长时间,四边形BPDQ为菱形?

  【考点】四边形综合题.

  【分析】(1)根据路程=速度×时间,即可解决问题.

  (2)过点P作PE⊥CD于点E,利用等腰三角形三线合一的性质,DE= DQ,列出方程即可解决问题.

  (3)当PD=PB时,四边形BPDQ是菱形,列出方程即可解决问题.

  【解答】解:(1)∵AP=3t,CQ=3t.

  故答案为3t,3t;

  (2)过点P作PE⊥CD于点E,

  ∴∠PED=90°,

  ∵PD=PQ,

  ∴DE= DQ

  在矩形ABCD中,∠A=∠ADE=90°,CD=AB=16cm

  ∴四边形PEDA是矩形,

  ∴DE=AP=3t,

  又∵CQ=2t,

  ∴DQ=16﹣2t

  ∴由DE= DQ,

  ∴3t= ×(16﹣2t),

  ∴t=2

  ∴当t=2时,PD=PQ,△DPQ为等腰三角形

  (3)在矩形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,AD=BC,依题知AP=CQ=3t

  ∴PB=DQ,

  ∴四边形BPDQ是平行四边形,

  当PD=PB时,四边形BPDQ是菱形,

  ∴PB=AB﹣AP=16﹣3t

  在Rt△APD中,PD= = ,

  由PD=PB,

  ∴16﹣3t= ,

  ∴(16﹣3t)2=9t2+36,

  解得:

  ∴当 时,四边形BPDQ是菱形.

  【点评】本题考查四边形综合题,路程、速度、时间之间的关系,菱形的判定和性质,矩形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造特殊四边形解决问题,属于中考常考题型.

  九年级数学上学期期中试卷

  一.选择题(共10小题,满分30分)

  1.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )

  A. B. C. D.

  2.(3分)下列方程中是一元二次方程的是(  )

  A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0

  3.(3分)一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是(  )

  A.x1=1,x2=6 B.x1=2,x2=3 C.x1=1,x2 =﹣6 D.x1=﹣1,x2=6

  4.(3分)抛物线y=3(x﹣1)2+1的顶点坐标是(  )

  A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1)

  5.(3分)将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛 物线的解析式为(  )

  A.y= (x﹣8)2+5 B.y= (x﹣4)2+5

  C.y= (x﹣8)2+3 D.y= (x﹣4)2+3

  6.(3分)如图,半 径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD,若DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的长等于(  )

  A.8 B.10 C.11 D.12

  7.(3分)宾馆有50间房供游客居住,当毎间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当毎间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?设房价定为x元.则有(  )

  A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890

  B.(x﹣20)(50﹣ )=10890

  C.x(50﹣ )﹣50×20=10890

  D.(x+1 80)(50﹣ )﹣50×20=10890

  8.(3分)把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=4,CD=5.把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图2),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长度为(  )

  A. B. C. D.4

  9.(3分)如图已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB和AC于点E、F,给出以下五个结论正确的个数有(  )

  ①AE=CF②∠APE=∠CPF ③△BEP≌△AFP④△EPF是等腰直角三角形⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),S四边形AEPF= S△ABC.

  A.2 B.3 C.4 D.5

  10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,对称轴是x=﹣1.下列结论:①ab>0;②b2>4ac;③a﹣b+2c<0;④8a+c<0.其中正确的是(  )

  A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④

  二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)

  11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2015的值为   .

  12.(3分)将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成(x﹣a)2=b的形式,则ab=   .

  13.(3分)点A(﹣3,y1),B(2,y2),C(3,y3)在抛物线y=2x2﹣4x+c上,则y1,y2,y3的大小关系是   .

  14.(3分)如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30°,则∠A的度数为   .

  15.(3分)如图,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=   .

  16.(3分)二次函数y=x2﹣2x﹣5的最小值是   .

  三.解答题(共9小题,满分72分)

  17.(7分)解方程

  (1)x(x﹣2)+x﹣2=0

  (2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2.

  18.(7分)已知,抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.

  (1)求抛物线的解析式;

  (2)当a>0时,如图所示,若点D是第三象限抛物线上方的动点,设点D的横坐标为m,三角形ADC的面积为S,求出S与m的函数关系式,并直接写出自变量m的取值范围;请问当m为何值时,S有最大值?最大值是多少.

  19.(7分)如图,在⊙O中,半径OC⊥AB,垂足为点D,AB=12,OD=8,求⊙O半径的长.

  20.(8分)已知a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,求a2﹣a+b+3ab的值.

  21.(8分)如图,在△ABC中,已知AB=AC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°,得到△ADE,连接BD,CE交于点F.

  (1)求证:△ABD≌△ACE;

  (2)求∠ACE的度数.

  22.(8分)如图,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动,同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动,它们到达终点后停止运动.

  (1)几秒后,点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍;

  (2)几秒后,△DPQ的面积是24cm2.

  23.(8分)某大学生创业团队抓住商机,购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售,每袋成本3元.试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天还需支付其他各项费用80元.

  销售单价x(元) 3.5 5.5

  销售量y(袋) 280 120

  (1)请直接写出y与x之间的函数关系式;

  (2)如果每天获得160元的利润,销售单价为多少元?

  (3)设每天的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少元?

  24.(9分)我们定义:如图1,在△ABC看,把AB点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时 针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.

  特例感知:

  (1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.

  ①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=   BC;

  ②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为   .

  猜想论证:

  (2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.

  25.(10分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C,且OA=1,OB=3,顶点为D,对称轴交x轴于点Q.

  (1)求抛物线对应的二次函数的表达式;

  (2)点P是抛物线的对称轴上一点,以点P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,求点P的坐标;

  (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.

  参考答案

  一.选择题

  1 .C.

  2.C.

  3.D.

  4.A.

  5.D.

  6.A.

  7.B.

  8.A.

  9.D.

  10.C.

  二.填空题

  11.

  【解答】解:由题意可知:2m2﹣3m﹣1=0,

  ∴2m2﹣3m=1

  ∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018

  故答案为:2018

  12.

  【解答】解:x2﹣6x+5=0,

  x2﹣6x=﹣5,

  x2﹣6x+9=﹣5+9,

  (x﹣3)2=4,

  所以a=3,b=4,

  ab=12,

  故答案为:12.

  13.

  【解答】解:

  ∵y=2x2﹣4x+c,

  ∴当x=﹣3时,y1=2×(﹣3)2﹣4×(﹣3)+c=30+c,

  当x=2时,y2=2×22﹣4×2+c=c,

  当x=3 时,y3=2×32﹣4×3+c=6+c,

  ∵c<6+c<30+c,

  ∴y2

  故答案为:y2

  14.

  【解答】解:∵BD是⊙O的直径,

  ∴∠BCD=90°(直径所对的圆周角是直角),

  ∵∠CBD=30°,

  ∴∠D=60°(直角三角形的两个锐角互余),

  ∴∠A=∠D=60°(同弧所对的圆周角相等);

  故答案是:60°.

  15.

  【解答】解:由题意得:

  AC=AC′,

  ∴∠ACC′=∠AC′C;

  ∵CC′∥AB,且∠BAC=75°,

  ∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°,

  ∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°;

  由题意知:∠BAB′=∠CAC′=30°,

  故答案为30°.

  16.

  【解答】解:∵原式可化为y=x2﹣2x+1﹣6=(x﹣1)2﹣6,

  ∴最小值为﹣6.

  故答案为:﹣6

  三.解答题(共9小题,满分72分)

  17.

  【解答】解:(1)x(x﹣2)+x﹣2=0

  (x﹣2)(x+1)=0

  x﹣2=0或x+1=0

  x1=2,x2=﹣1;

  (2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2

  x2﹣7x+12=0

  (x﹣3)(x﹣4)=0

  x﹣3=0或x﹣4=0

  x1=3,x2=4.

  18.

  【解答】解:(1)∵点B的坐标为(1,0),OC=3OB,

  ∴点C的坐标为(0,3)或(0,﹣3),

  将点B(1,0)、C(0,3)或(0,﹣3)代入y=ax2+2ax+c,

  或 ,

  解得: 或 ,

  ∴抛 物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3.

  (2)过点D作DE⊥x轴,交AC于点E,如图所示.

  ∵a>1,

  ∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3,

  ∴点C的坐标为(0,﹣3).

  当y=0时,有x2+2x﹣3=0,

  解得:x1=﹣3,x2=1,

  ∴点A的坐标为(﹣3,0),

  利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y=﹣x﹣3.

  ∵点D的横坐标为m,

  ∴点D的坐标为(m,m2+2m﹣3),点E的坐标为(m,﹣m﹣3),

  ∴DE=﹣m﹣3﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m,

  ∴S= DE×|﹣3﹣0|=﹣ (m2+m)(﹣3

  ∵﹣ <0,且S=﹣ (m2+ m)=﹣ (m+ )2+ ,

  ∴当m=﹣ 时,S取最大值,最大值为 .

  19.

  【解答】解:连接OA,如图,

  ∵OC⊥AB,

  ∴AD=BD= AB= ×12=6,

  在Rt△AOD中,OA= = =10,

  即⊙O半径的长为10.

  20.

  【解答】解:∵a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,

  ∴a+b=2,ab=﹣1,a2﹣2a=1,

  a2﹣a+b+3ab=a2﹣2a+b+a+3ab=1+2﹣3=0.

  21.

  【解答】解:(1)由题意得:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,

  ∴∠BAD=∠CAE;

  在△ABD与△ACE中,

  ,

  ∴△ABD≌△ACE(SAS),

  (2)∵AC=AE,

  ∴∠ACE=∠AEC,而∠CAE=100°,

  ∴∠ACE= =40°.

  22.

  【解答】解:(1)设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍,

  ∴PD=2PQ,

  ∵四边形ABCD是矩形,

  ∴∠A=∠B=90°,

  ∴PD2=AP2+AD2,PQ2=BP2+BQ2,

  ∵PD2=4 PQ2,

  ∴82+(2t)2=4[(10﹣2t)2+t2],

  解得:t1=3,t2=7;

  ∵t=7时10﹣2t<0,

  ∴t=3,

  答:3秒后,点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍;

  (2)设x秒后△DPQ的面积是24cm2,

  则 ×8×2x+ (10﹣2x)•x+ (8﹣x)×10=80﹣24,

  整理得x2﹣8x+16=0

  解得x1=x2=4.

  23.

  【解答】解:(1)设y=kx+b,

  将x=3.5,y=280;x=5.5,y=120代入,

  得 ,解得 ,

  则y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560;

  (2)由题意,得(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80=160,

  整理,得x2﹣10x+24=0,

  解得x1=4,x2=6.

  ∵3.5≤x≤5.5,

  ∴x=4.

  答:如果每天获得160元的利润,销售单价为4元;

  (3)由题意得:w=(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80

  =﹣80x2+800x﹣1760

  =﹣80(x﹣5)2+240,

  ∵3.5≤x ≤5.5,

  ∴当x=5时,w有最大值为240.

  故当销售单价定为5元时,每天的利润最大,最大利润是240元.

  24.

  【解答】解:(1)①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC;

  理由:∵△ABC是等边三角形,

  ∴AB=BC=AC=AB′=AC′,

  ∵DB′=DC′,

  ∴AD⊥B′C′,

  ∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,

  ∴∠B′AC′=120°,

  ∴∠B′=∠C′=30°,

  ∴AD= AB′= BC,

  故答案为 .

  ②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为4.

  理由:∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,

  ∴∠B′AC′=∠BAC=90°,

  ∵AB=AB′,AC=AC′,

  ∴△BAC≌△B′AC′,

  ∴BC=B′C′,

  ∵B′D=DC′,

  ∴AD= B′C′= BC=4,

  故答案为4.

  (2)猜想 .

  证 明:如图,延长AD至点Q,则△DQB'≌△DAC',

  ∴QB'=AC',QB'∥AC',

  ∴∠QB'A+∠B'AC'=180°,

  ∵∠BAC+∠B'AC'=180°,

  ∴∠QB'A=∠BAC,

  又由题意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB,

  ∴△AQB'≌△BCA,

  ∴AQ=BC=2AD,

  即 .

  25.

  【解答】解:(1)∵OA=1,OB=3,

  ∴A(﹣1,0),B(3,0).

  代入y=﹣x2+bx+c,得

  解得 b=2,c=3.

  ∴抛物线对应二次函数的表达式为:y=﹣x2+2x+3;

  (2)如图,设直线CD切⊙P于点E.连结PE、PA,作CF⊥DQ于点F.

  ∴PE⊥CD,PE=PA.

  由y=﹣x2+2x+3,得

  对称轴为直线x=1,C(0,3)、D(1,4).

  ∴DF=4﹣3=1,CF=1,

  ∴DF=CF,

  ∴△DCF为等腰直角三角形.

  ∴∠CDF=45°,

  ∴∠EDP=∠EPD=45°,

  ∴DE=EP,

  ∴△DEP为等腰三角形.

  设P(1,m),

  ∴EP2= (4﹣m)2.

  在△APQ中,∠PQA=90°,

  ∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2

  ∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.

  整理,得m2+8m﹣8=0

  解得,m=﹣4±2 .

  ∴ 点P的坐标为(1,﹣4+2 )或(1,﹣4﹣2 ).

  (3)存在点M,使得△DCM∽△BQC .

  如图,连结CQ、CB、CM,

  ∵C(0,3),OB=3,∠COB=90°,

  ∴△COB为等腰直角三角形,

  ∴∠CBQ=45°,BC=3 .

  由(2)可知,∠CDM=45°,CD= ,

  ∴∠CBQ=∠CDM.

  ∴△DCM∽△BQC分两种情况.

  当 = 时,

  ∴ = ,解得 DM= .

  ∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .

  ∴M1(1, ).

  当 时,

  ∴ = ,解得 DM=3.

  ∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.

  ∴M2(1,1).

  综上,点M的坐标为(1, )或(1,1).

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