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初三春季下学期数学期中试题

时间:2019-03-22

  我们数学是一个我们需要多做题的一个科目,所以大家要多学习哦,今天小编给大家分享的是九年级数学,希望大家参考哦

  春九年级下学期数学期中试题

  一、选择题:(本大题共12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑.

  1.-15的相反数是( ▲ )

  A.15 B.-15 C.5 D.-5

  2.计算 的结果是( ▲ )

  A. B. C. D.

  3.如图,已知 , , 为 上一点, 平分

  ,则 的度数为( ▲ )

  A.   B.   C.   D.

  4.观察下列图案,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ▲ )

  A. B. C. D.

  5.下列调查中,最适合采用抽样调查的是( ▲ )

  A.对旅客上飞机前的安检

  B.了解全班同学每周体育锻炼的时间

  C.调查奥运会金牌获得者的兴奋剂使用情况

  D.调查我国居民对汽车废气污染环境的看法

  6.如图, 是⊙ 的直径, 、 是圆上两点, ,则

  的度数为( ▲ )

  A. B. C. D.

  7.已知方程组 的解为 ,则 的值为( ▲ )

  A. B.

  C. D.

  8.如图,在边长为 的菱形 中, , 为 边上的高,将 沿 所在直线翻折得 , 与 边交于点 ,则 的长度为( ▲ )

  A. B. C. D.

  9.如图,点 、 、 在直线 上,点 、 、 、 在直线 上,若 , 从如图所示的位置出发,沿直线 向右匀速运动,直到 与 重合时停止运动.在运动过程中, 与矩形 ( )重合部分的面积 随时间 变化的图象大致是( ▲ )

  10.如图,每个图形都由同样大小的“△”按照一定的规律组成,其中第 个图形有 个“△”,第 个图形有 个“△”,第 个图形有 个“△”,…,则第 个图形中“△”的个数为( ▲ )

  A. B. C. D.

  11.右图是二次函数 图象的一部分,过点( , ),

  ,对称轴为直线 .给出四个结论:① ;

  ② ;③ ;④ ,其中正确的结论有

  ( ▲ )

  A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

  12.如图,直线 ( )与 轴交于点 ,与

  轴交于点 ,以 为边作矩形 ,点 在 轴上.

  双曲线 经过点 ,与直线 交于点 ,则点

  的坐标为( ▲ )

  A.( , ) B.( , )

  C.( , ) D.( , )

  二、填空题:(本题共6小题,每小题4分,共24分)请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上

  13.正六边形的每个外角的度数为 ▲ .

  14.计算: ▲ .

  15.如图, 、 、 都与 垂直,垂足分别是 、 、 ,且 , ,则 ︰ 的值为 ▲ .

  16.有两组卡片,第一组的三张卡片上分别写有数字 , , ,第二组的三张卡片上分别写有数字 , , ,现从每组卡片中各随机抽出一张,用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字,差为正数的概率为 ▲ .

  17.如图,在矩形 中, ,分别以点 、 为圆心, 为半径画弧,与 边分别交于点 、 ,且与对角线 交于同一点 ,则图中阴影部分的面积为 ▲ .

  18.如图,在正方形 中, 为 边上一点,以 为对角线构造正方形 ,点 在正方形 内部,连接 ,与 边交于点 .若 , ,连接 ,则 的长为 ▲ .

  三、解答题:(本大题共2个小题,每小题7分,共14分)请把答案写在答题卡上对应的空白处,解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

  19.如图,四边形 是平行四边形,点 在 的延长线上,点 在 边上,且 ,

  .求证: .

  20.网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注,有关部门在全国范围内对 ﹣ 岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查,绘制出以下两幅不完整的统计图.

  请根据图中的信息,回答下列问题:

  (1)这次抽样调查中共调查了 ▲ 人;

  (2)请补全条形统计图;

  (3)扇形统计图中 ﹣ 岁部分的圆心角的度数是 ▲ ;

  (4)据报道,目前我国 ﹣ 岁网瘾人数约为2000万,请估计其中 ﹣ 岁网瘾人群的人数.

  四、解答题:(本大题共4个小题,每小题10分,共40分)请把答案写在答题卡上对应的空白处,解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

  21.化简:

  (1) (2)

  22.某公司保安部计划从商店购买同一品牌的应急灯和手电筒,已知购买一个应急灯比购买一个手电筒多用 元,若用 元购买应急灯和用 元购买手电筒,则购买应急灯的个数是购买手电筒个数的一半.

  (1)分别求出该品牌应急灯、手电筒的定价;

  (2)经商谈,商店给予该公司购买一个该品牌应急灯赠送一个该品牌手电筒的优惠,如果该公司需要手电筒的个数是应急灯个数的 倍还多 个,且该公司购买应急灯和手电筒的总费用不超过 元,那么该公司最多可购买多少个该品牌应急灯?

  23.如图,斜坡 长 米,坡度 ︰ , ,现计划在斜坡中点 处挖去部分坡体修建一个平行于水平线 的平台 和一条新的斜坡 .

  (1)若修建的斜坡 的坡角为 ,求平台 的长;(结果保留根号)

  (2)斜坡 正前方一座建筑物 上悬挂了一幅巨型广告 ,小明在 点测得广告顶部 的仰角为 ,他沿坡面 走到坡脚 处,然后向大楼方向继续行走 米来到 处,测得广告底部 的仰角为 ,此时小明距大楼底端 处 米.已知 、 、 、 、 在同一平面内, 、 、 、 在同一条直线上,求广告 的长度.

  (参考数据: , , ,

  , , )

  24.若一个正整数,它的各位数字是左右对称的,则称这个数是对称数,如22,797,12321都是对称数.最小的对称数是11,没有最大的对称数,因为数位是无穷的.

  (1)有一种产生对称数的方式是:将某些自然数与它的逆序数相加,得出的和再与和的逆序数相加,连续进行下去,便可得到一个对称数.如:17的逆序数为71,17+71=88,88是一个对称数;39的逆序数为93,39+93=132, 132的逆序数为231,132+231=363,363是一个对称数.请你根据以上材料,求以687产生的第一个对称数;

  (2)若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数,和后两位数所表示的数,请你证明这两个数的差一定能被9整除;

  (3)若将一个三位对称数减去其各位数字之和,所得的结果能被11整除,则满足条件的三位对称数共有多少个?

  五、解答题:(本大题共2个小题,每小题12分,共24分)请把答案写在答题卡上对应的空白处,解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

  25.在 中, , 为射线 上一点, , 为射线 上一点,且 ,连接 .

  (1)如图1,若 , ,求 的长;

  (2)如图2,若 ,连接 并延长,交 于点 ,求证: ;

  (3)如图3,若 ,垂足为点 ,求证: .

  26.如图1,抛物线 与直线 : 交于点 ,点 的横坐标为 ,直线 与 轴的交点为 ,将直线 向上平移后得到直线 ,直线 刚好经过抛物线与 轴正半轴的交点 和与 轴的交点 .

  (1)直接写出点 和点 的坐标,并求出点 的坐标;

  (2)若点 是抛物线第一象限内的一个动点,连接 ,交直线 于点 ,连接 和 .设 的面积为 ,当 取得最大值时,求出此时点 的坐标及 的最大值;

  (3)如图2,动点 以每秒 个单位长度的速度从点 出发,沿射线 运动;同时,动点 以每秒 个单位长度的速度从点 出发,沿射线 运动,设运动时间为 ( ).过 点作 轴,交抛物线于点 ,当点 、 、 所组成的三角形是直角三角形时,直接写出 的值.

  数学答案

  一、选择题(每题4分,共12题,合计48分)

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  答案 A C B D D B B C B A B D

  4

  二、填空题(每题4分,共6题,合计24分)

  13. 60 ° 14. 15. 16. 17. 18.

  三、解答题:(19、20各7分;21、22、23、24各10分;25、26各12分)

  19.(7分)证明:∵四边形 是平行四边形

  ∴ ∥ ,∠ =∠

  ∴∠ =∠

  ∴∠ =∠ ……3分

  又∵ = , =

  ∴△ ≌△ ……6分

  ∴ = ……7分

  20.(7分)

  (1) 1500 ; ……1分

  (2)如图; ……2分

  (3) 108 °; ……4分

  (4)解:

  =1000(万人)

  答:估计其中12-23岁网瘾人群大约有1000万人. ……7分

  21.(10分)化简下列各式:

  (1)

  解:原式= ……3分

  = ……5分

  (2)

  解:原式= = ……8分

  = = ……10分

  22.(10分)解:(1)设该品牌手电筒的定价为 元,则应急灯的定价为 元.

  由题意得: ……3分

  解得:

  经检验, 是原方程得解.

  ∴应急灯的定价 = (元)

  答:设该品牌手电筒的定价为 元,则应急灯的定价为 元. ……5分

  (2)设该公司可以购买 个该品牌应急灯.

  由题意得: ≤ ……8分

  解得: ≤

  答:该公司最多可购买 个该品牌应急灯. ……10分

  23.(10分)

  解:(1)过 作 ,垂足为

  ∵ ∴

  ∵ 为 中点 ∴ 为 中点

  在 ,

  设 , ,则

  ∴ 即 ,

  ∴ ,

  ∵在 中,

  ∴

  ∴

  ∴平台 的长为( )米 ……5分

  (2)过 作 、 ,垂足分别为 、

  ∴四边形 为矩形

  ∴

  ∵ , ∴

  ∵ 为 中点 ∴ 为 中点即

  ∴

  ∵在 中,

  在 中,

  ∴

  ∴广告 的长度约为 米 ……10分

  24.(10分)

  解: (1) 则 则

  ∴以 产生的第一个对称数是: ……2分

  (2)设这个四位数的前两位所表示的数为:

  这个四位数的后两位所表示的数为:

  由题意: = =

  ∵ 、 为整数,∴ 为整数.

  ∴ 一定能被 整除.

  ∴这两个数的差一定能被 整除; ……6分

  (3)设这个三位对称数为:

  由题意:

  ∵这个三位对称数能被 整除,∴ 为整数

  ∵ 、 为整数,且 ,

  ∴ 为整数即 ,∴这样的三位对称数共有9个. ……10分

  25.(12分)

  解:(1)∵ ,且

  ∴ ……4分

  (2)过点 作 交 延长线于点 (如图2)

  ∴ ≌

  ∴ , 即 为等腰三角形

  又∵

  ∴ 为 的中点

  ∴ ……8分

  (3)取 中点 ,延长 至点 ,使 ,连接 、

  (如图3)

  ∴四边形 为平行四边形

  ∴

  ∴ 即

  ∴ ……12分

  26.(12分)解:(1) 、

  ∵ ∴直线 :

  令 时, , ∴ ……4分

  (点B坐标也可以由二次函数的解析式求得)

  (2)连接 .∵

  过点 作 ⊥ 轴交直线 于点

  设 ,则

  ∴

  ∴

  ∵ ,∴ 时 有最大值,

  此时, ……8分

  (3) . ……12分

  表达九年级数学下册期中考试题

  一、精心选一选(每小题3分,共30分)

  1.(2016•随州)在△ABC中,∠C=90°,若cosB=32,则sinA的值为( B )

  A.3 B.32 C.33 D.12

  2.下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中,正确的是( D )

  A.开口向下 B.对称轴为直线x=1

  C.与x轴有两个交点 D.顶点坐标是(-1,0)

  3.若∠α为锐角且tanα=3,则tan(90°-α)等于( C )

  A.1010 B.3 C.13 D.103

  4.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( A )

  A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2

  C.y=-(x-1)2-2 D.y=-(x+1)2-2

  5.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c,它们在同一坐标系内的大致图象是( C )

  6.已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3,在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点(-45,y1),(-54,y2),(16,y2),y1,y2,y3的大小关系是( A )

  A.y1

  C.y3

  7.如图,机器人从A点出发,沿着西南方向行了4个单位,到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上,则原来点A的坐标为( A )

  A.(0,22+236) B.(0,22) C.(0,236) D.(0,3)

  8.小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-15x2+3.5的一部分如图所示,若命中篮圈中心,则他与篮圈中心的水平距离l是( C )

  A.4.6 m B.4.5 m

  C.4 m D.3.5 m

  9.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下,滑下的距离s(m)与时间t(s)间的关系为s=10t+2t2,若滑到坡底的时间为4s,则此人下降的高度为( C )

  A.72 m B.363 m C.36 m D.183 m

  10.(2015•嘉兴)如图,抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0)和B(b,0),交y轴于点C,抛物线的顶点为D.下列四个判断:①当x>0时,y>0;②若a=-1,则b=4;③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<12,则y1>y2;④点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G,F分别在x轴和y轴上,当m=2时,四边形EDFG周长的最小值为62.其中正确判断的序号是( C )

  A.① B.② C.③ D.④

  二、细心填一填(每小题3分,共24分)

  11.在△ABC中,AC∶BC∶AB=3∶4∶5,则sinA+sinB=__75__.

  12.(2015•怀化)二次函数y=x2+2x的顶点坐标为__(-1,-1)__,对称轴是__直线x=-1__.

  13.△ABC中,锐角A,B满足(sinA-32)2+|tanB-3|=0,则△ABC是__等边三角形__.

  14.抛物线y=x2-(2m-1)x-2m与x轴的两个交点坐标分别为A(x1,0),B(x2,0),且x1x2=1,则m的值为__12__.

  15.(2015•东营)4月26日,2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播,如图,在直升机的镜头下,观察马拉松景观大道A处的俯角为30°,B处的俯角为45°,如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A,D,B在同一直线上,则AB两点的距离是__200(3+1)__米.

  ,第15题图)  ,第16题图)  ,第17题图)  ,第18题图)

  16.(2015•江西)如图①是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图②所示的几何图形,已知BC=BD=15 cm,∠CBD=40°,则点B到CD的距离为__14.1__cm.(参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,计算结果精确到0.1 cm,可用科学计算器)

  17.如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶,它的拱宽AB为4 m,拱高CO为0.8 m.如图建立坐标系,则模板的轮廓线所在的抛物线的表达式为__y=-0.2x2__.

  18.(2016•河南模拟)如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3),若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2,-2),点A的对应点为A′,则抛物线上PA所扫过的区域(阴影部分)的面积为__12__.

  三、用心做一做(共66分)

  19.(8分)(1)(2)0+12-tan60°+(13)-2;     (2)(1-tan60°)2-4cos30°.

  解:10+3 解:-1-3

  20.(8分)如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=34,求sinC的值.

  解:∵在Rt△ABD中,tan∠BAD=BDAD=34,∴BD=AD•tan∠BAD=12×34=9,∴CD=BC-BD=14-9=5.∴AC=AD2+CD2=13,∴sinC=ADAC=1213

  21.(8分)已知锐角α关于x的一元二次方程x2-2xsinα+3sinα-34=0有相等的实数根,求α.

  解:∵关于x的一元二次方程x2-2xsinα+3sina-34=0有相等实数根,∴Δ=0,即(2sinα)2-4(3sinα-34)=4sin2α-43sinα+3=0,∴sinα=32,∴α=60°

  22.(10分)如图,抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点,且与x轴交于点A(-2,0).

  (1)求此抛物线的表达式及顶点B的坐标;

  (2)在抛物线上有一点P,满足S△AOP=3,请直接写出点P的坐标.

  解:(1)将A,O两点的坐标代入表达式y=-x2+bx+c,得c=0,-4-2b+c=0,解得b=-2,c=0.∴此抛物线的表达式为y=-x2-2x,变化形式得y=-(x+1)2+1,顶点B的坐标为(-1,1) (2)P1(-3,-3),P2(1,-3)

  23.(8分)如图,一艘巡逻艇航行至海面B处时,得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障,就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救.已知C处位于A处的北偏东45°的方向上,港口A位于B的北偏西30°的方向上,求A,C之间的距离.(结果精确到0.1海里,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)

  解:作AH⊥BC,设AH=x,则CH=x,BH=3x,由x+3x=20,解得x≈7.3,∴在Rt△AHC中,AC=2AH≈10.3,∴AC=10.3海里

  24.(12分)(2016•湖州模拟)某农庄计划在30亩(1亩≈666.7平方米)空地上全部种植蔬菜和水果,菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务.小张种植每亩蔬菜的工资y(元)与种植面积m(亩)之间的函数关系如图①所示;小李种植水果所得报酬z(元)与种植面积n(亩)之间的函数关系如图②所示.

  (1)如果种植蔬菜20亩,则小张种植每亩蔬菜的工资是__140__元,小张应得的工资总额是__2_800__元;此时,小李种植水果__10__亩,小李应得的报酬是__1_500__元.

  (2)当10

  (3)设农庄支付给小张和小李的总费用为W(元),当10

  解:(2)当10

  25.(12分)(2016•北京模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.

  (1)求点A,B的坐标;

  (2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的表达式;

  (3)若该抛物线在-2

  解:

  (1)当x=0时,y=-2.∴点A的坐标为(0,-2).将y=mx2-2mx-2配方,得y=m(x-1)2-m-2.∴抛物线的对称轴为直线x=1.∴点B的坐标为(1,0) (2)由题意,点A关于直线x=1的对称点的坐标为(2,-2).设直线l的表达式为y=kx+b.∵点(1,0)和(2,-2)在直线l上,∴0=k+b,-2=2k+b,解得k=-2,b=2.∴直线l的表达式为y=-2x+2 (3)由题意可知,抛物线关于直线x=1对称,直线AB与直线l也关于直线x=1对称.∵抛物线在2

  九年级数学期中试卷参考

  一、选择题 (每小题3分,共24分)

  1.下列各组数中,能够组成直角三角形的是 【 】

  A.3,4,5 B.4,5,6 C.5,6,7 D.6,7,8

  2.若式子 - +1有意义,则x的取值范围是 【 】

  A.x ≥ B.x ≤ C.x= D.以上答案都不对

  3.在根式① ② ③ ④ 中,最简二次根式是 【 】

  A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.① ④

  4.若三角形的三边长分别为 , ,2,则此三角形的面积为 【 】

  A. B. C. D.

  5.如图所示,△ABC和△DCE都是边长为4的

  等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,

  连接BD,则BD的长为 【 】

  A. B.2 C.3 D.4

  6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD

  相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,

  若∠ADC =130°,则∠AOE的大小为 【 】

  A.75° B.65° C.55° D.50 °

  7.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周长是 【 】

  A. 4 B. 6 C. 8 D.10

  8.如图,是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正 方形图案,已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y表示直角三角形的两条直角边(x > y),请观察图案,指出下列关系式不正确的是 【 】

  A. B. C. D.

  二、填空题( 每小题3分,共21分)

  9.若 x,y为实数,且∣x+2∣+ =0,则(x+y)2017的值为 .

  10.计算: .

  11. 实数a,b在数轴上的对应点如图所示,则∣a-b∣- .

  12.若x=2- ,则代数式(7+4 )x2+(2+ )x+ = .

  13.如图,在平面直角坐标系中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(-3,0),

  (2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 .

  14.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点D,B作DE⊥a于点E,

  BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF= .

  15.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在斜边AC上,与点B'重合,AE为折痕,则E B'= .

  三、解答题:(本大题共8个小题,满分75分)

  16.(每小题4分 共8分)计算:

  (1) ; (2)a2 .

  17.(8分) 如果最简二次根式 与 是同类二次根式,那么要使式子 有意义, x的取值范围是什么?

  18.(9分)如图,每个小正方形的边长都是1,

  (1)求四边形ABCD的周长和面积

  (2)∠BCD是直角吗?

  19.(9分)如图所示,在□ABCD中,点E,F分别在边BC和AD上,且CE=AF,

  (1)求证:△ABE ≌ △CDF;

  (2)求证:四边形AECF是平行四边形.

  20.(10分) 如图所示,在菱形ABCD中,点E,F分别是边BC,AD的中点,

  (1)求证:△ABE ≌ △CDF;

  (2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.

  21.(10分)如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE,过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F,连接DF.求证:

  (1)OD=CF;

  (2)四边形ODFC是菱形.

  22.(10分)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,OF⊥AD于点F,OF=2cm,

  AE⊥BD于点E,且BE﹕BD=1﹕4,求AC的长.

  23.(11分)在平面内,正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连接DE,BH,两线交于M,求证:

  (1)BH=DE;

  (2)BH⊥DE.

  参考答案

  一、 选择题

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8

  答案 A C C B D B C D

  二、填空题

  题号 9 10 11 12 13 14 15

  答案 1 1 b 2+

  (5,4) 7

  三、 解答题

  16.(1) (4分) (2) (4分)

  17.a=5; ……………………3分

  5≤x≤10 ……………………8分

  18.(1)周长 ……………………3分

  面积14.5 ……………………6分

  (2)是……………………7分,证明:略.……………………9分

  19.(1)略 5分 (2)略 9分

  20.(1)略 5分 (2)证出AE是高 8分,AE = 2 10分

  21.证明:(1)∵CF∥BD ∴∠DOE=∠CFE,∵E是CD的中点,∴CE=DE

  在△ODE和△FCE中, ,∴△ODE≌△FCE(ASA)

  ∴OD=CF.……………………6分

  (2)由(1)知OD=CF ,∵CF∥BD ,∴四边形ODFC是平行四边形

  在矩形ABCD中,OC=OD,∴四边形ODFC是菱形.……………………10分

  22.解法一:∵四边形ABCD为矩形,∴∠BAD=90°, OB=OD,AC=BD,又∵OF⊥AD,∴OF∥AB,又∵OB=OD ,∴ AB=2OF=4cm,

  ∵BE︰BD=1︰4,∴BE︰ED=1︰3 ……………………3分

  设BE=x,ED=3 x ,则BD=4 x ,∵AE⊥BD于点E

  ∴ ,∴16-x2=AD2-9x2……… ………6分

  又∵AD2=BD2-AB2=16 x2-16 ,∴16-x2=16 x2-16-9x2,8 x2=32

  ∴x2=4,∴x=2 ……………………9分

  ∴BD=2×4 =8(cm),∴AC=8 cm . ……………………10分

  解法二:在矩形ABCD中,BO=OD= BD,∵BE︰BD=1︰4,∴BE︰BO=1︰2,

  即E是BO的中点 ……………………3分

  又AE⊥BO,∴AB=A O,

  由矩形的对角线互相平分且相等,∴AO=BO ……………………5分

  ∴△ABO是正三角形,

  ∴∠BAO=60°,∴∠OAD=90°-60°=30° ……………………8分

  在Rt△AOF中,AO=2OF=4,∴AC=2AO=8 ……………………10分

  23.(1)提示:证明:△BCH≌△DCE(SAS) ……………………6分

  (2)由(1)知 △BCH≌△DCE ∴∠CBH=∠EDC

  设BH,CD交于点N,则∠BNC=∠ DNH

  ∴∠CBH+∠BNC=∠EDC+∠DNH=90°

  ∴∠DMN=180°-90°=90°

  ∴BH⊥DE.……………………11分

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